Objetivo

Calcular el área limitada por la gráfica de una función $f(x)$ en el intervalo $[a,c]$, donde $f(x)$ sea positiva en el intervalo $[a,b]$ y negativa en el intervalo $[b,c]$ y limitada por el eje horizontal.

Procedimiento

Para calcular el área bajo la gráfica de una función $f$, se utiliza la definición de la integral definida

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx=F(b)-F(a)}$$

donde $f$ es continua en el intervalo $[a,b]$ y $F$ es una primitiva de $f$.

En este caso, como una sección de la gráfica es positiva y la otra negativa, éstas se integran por separado para obtener sus áreas. El área de la sección positiva de la gráfica es mayor que cero, y de la misma manera, el área de la sección negativa es menor que cero; al final, para determinar el área total, se suman sus valores absolutos.

Justificación

La interpretación geométrica de la integral definida es el área limitada por la gráfica de una función y el eje horizontal. En general, si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(x)≥0$ para todo $x$ en $[a,b]$, entonces la integral definida, $\int_{a}^{b}{f(x)dx}$, es el área limitada por la gráfica de $f$ y el eje $x$ entre $a$ y $b$.

Ejemplos

A continuación, se muestran ejemplos para el cálculo del área limitada por la gráfica de una función y el eje horizontal, cuando una sección es positiva y la otra negativa. El punto de intersección de la gráfica con el eje $x$ delimita, respectivamente, el extremo derecho e izquierdo de los dos intervalos de integración.

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Ejercicios

Calcula el área que se pide empleando la integral definida y anota el resultado en el espacio correspondiente. Pulsa ↵ antes de oprimir el botón Verificar.