Objetivo

• Obtener la integral definida de una función algebraica por sustitución o cambio de variable.
• Obtener la integral definida de una función trascendente por sustitución o cambio de variable.

Conceptos básicos

El segundo teorema fundamental del cálculo dice que si $f$ es una función continua en un intervalo $[a,b]$ y $F$ es una primitiva o antiderivada de $f$, entonces

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$

Procedimiento

Cuando la integral de una función no aparece en la lista de integrales inmediatas, y no se ve a simple vista qué función sería una antiderivada de ella, debemos buscar una composición de funciones. Si la hay, es útil hacer un cambio de variable; una de esas funciones de $x$ será la nueva variable $u$.

Una vez que hayamos encontrado la antiderivada de $f$ en términos de $u$, para evaluar la integral definida podemos hacer dos cosas:

• Sustituir $u$ en términos de $x$ para poder evaluar $F(b)-F(a)$, o bien
• Evaluar $F(u(b))-F(u(a))$,

ya que el teorema de cambio de variable dice que

$$\int_{a}^{b}{f(u(x))u'(x)dx}=\int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)du}$$

Ejemplos

Ejercicios

En los ejercicios siguientes, escribe las respuestas en cada campo de texto; después pulsa ↵. Si la respuesta es correcta, se deshabilitará el campo; si no, debes intentarlo nuevamente.