Objetivo

Obtener la integral definida inmediata de una función algebraica.

Procedimiento

Para resolver o evaluar una integral definida, se calcula la integral sin tomar en cuenta los límites de integración. Posteriormente se evalúa el resultado de la integral, restando el valor obtenido al sustituir el límite de integración inferior al del obtenido al sustituir el límite de integración superior.

Justificación

Si $f$ es continua en un intervalo $[a,b]$ y $F$ es una primitiva de $f$, entonces definimos la integral definida de $f$ como

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx=F(b)-F(a)}$$

debe observarse que $\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ está bien definida, es decir, no depende de la primitiva particular que hayamos elegido, pues si $G$ es otra primitiva de $f$, entonces $G(x)=F(x)+C$, así que

$$G(b)-G(a)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$$

Si existe la integral definida de $f$ entre $a$ y $b$ (o de $a$ a $b$), entonces se dice que $f$ es integrable en $[a,b]$. Evaluar la integral consiste en resolverla y determinar su valor. El símbolo $\int$ se conoce como símbolo de integral, el cual se puede considerar proveniente de una letra $S$ (la letra inicial de la palabra "suma") y se usa para indicar la relación entre las integrales definidas y la suma de áreas. Los números $a$ y $b$ se llaman extremos (o límites) de integración, siendo $a$ el extremo inferior y $b$ el extremo superior. En este contexto, cuando se usa el término límite, se refiere a uno de los dos extremos del intervalo $[a,b]$ y no tiene ninguna relación con las definiciones de límite dadas con anterioridad. Si $F(x)$ es una función cualquiera, se empleará la siguiente notación para evaluar las integrales definidas

$$F(x)\vert_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

Ejemplos

A continuación, se muestra el procedimiento para calcular la integral definida de funciones algebraicas. Presiona el botón Continuar.

Ejercicios

Evalúa la integral definida y escribe su resultado en el espacio correspondiente.