Objetivo

Identificar el Teorema Fundamental del Cálculo.

Nota histórica

Cabe recordar que los orígenes del cálculo están en los problemas de mecánica y de geometría. Pese a que éstos habían sido estudiados desde la Antigüedad, por Arquímedes entre otros, fue en la segunda mitad del siglo XVII que Newton y Leibniz establecieron las bases del cálculo diferencial e integral, al descubrir la relación que existe entre ambos tipos de problemas.

Este descubrimiento les permitió formular un método general para resolverlos. El cálculo diferencial es esencialmente un método para solucionar problemas mecánicos. La derivación permite encontrar la velocidad de un movimiento. En cambio, el cálculo integral se ocupa de resolver problemas como encontrar el área bajo una curva y en algunos casos esa área representa la distancia recorrida por un móvil o el trabajo realizado por una fuerza.

De lo anteriormente expuesto, puede notarse que el problema del cálculo diferencial es recíproco al del cálculo integral. De aquí surge el Teorema Fundamental del Cálculo.

Conceptos básicos

El Teorema Fundamental del Cálculo dice que la derivada de la integral de una función es la misma función. Es decir, si una función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a,b]$, y $x$ es cualquier punto dentro del intervalo, se puede definir $F(x)$ como:

$$F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$$

entonces:

$$F'(x)=f(x)$$

Así, la integral de $f(x)$ puede verse como la antiderivada o primitiva de esa función. La importancia de este Teorema, al que en ocasiones se denomina Primer Teorema Fundamental del Cálculo, reside en dos aspectos:

• Relaciona las dos principales nociones del cálculo, derivación e integración, demostrando que son procesos inversos. Esto significa que si se integra una función continua, al derivarla después se recupera la función original.
• Proporciona un método simple para resolver muchas de las integrales definidas.

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo elige la respuesta correcta presionando el botón correspondiente.