Objetivo

Obtener la integral indefinida de una función mediante integración por partes, donde se aplique una vez dicho método.

Antecedentes y conceptos básicos

Recuerda que la integral indefinida de una función $f$ es una función cuya derivada es $f$. Cuando $f$ puede describirse como $f=u·\frac{dv}{dx}$ y no es claro cuál es su integral indefinida, podemos intentar un método de integración: la integración por partes, que se basa en las siguientes consideraciones:

1. La derivada del producto de dos funciones es: $$\frac{d(u·v)}{dx}=\frac{du}{dx}·v+u·\frac{dv}{dx}$$ Despejando el segundo sumando: $$u·\frac{dv}{dx}=\frac{d(u·v)}{dx}-\frac{du}{dx}·v$$ De ahí que la integral indefinida del término de la izquierda sea igual a la diferencia de las integrales indefinidas de los términos de la derecha. Despejando el segundo sumando: $$\int{u·\frac{dv}{dx}dx}=\int{\frac{d(u·v)}{dx}dx}-\int{\frac{du}{dx}· vdx}$$
2. Además, por definición: $$\int{\frac{d(u·v)}{dx}dx}=u·v$$ En resumen: $$\int{u·\frac{dv}{dx}dx}=u·v-\int{\frac{du}{dx}·vdx}$$

Procedimiento

El método de integración por partes se utiliza para obtener la integral de funciones que se pueden describir como $u·\frac{dv}{dx}$, especialmente cuando resulta más fácil encontrar la integral de $\frac{du}{dx}·v$. El punto clave al aplicar este método es la selección de la funciones $u$ y $v$. Como en general ocurre en integración, lo mejor es ir ganando habilidad mediante ejemplos y ejercicios. Sin embargo, los siguientes consejos pueden ser útiles.

Elige $\frac{dv}{dx}$ y $u(x)$ de manera que:

1. Sea inmediato encontrar $v(x)=\int{\frac{dv}{dx}dx}$.
2. La nueva integral $\int{v\frac{du}{dx}}dx$ sea fácil de obtener.

Ejemplos

Con los pulsadores podrás ver paso a paso el procedimiento aplicado a los siguientes ejemplos.

Ejercicios