Objetivo

Obtener la aceleración instantánea de un móvil a partir de su función de posición en un tiempo determinado.

Antecedentes y conceptos básicos

La velocidad instantánea de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta es la razón de cambio de la posición respecto al tiempo y se calcula como la derivada de la posición como función del tiempo.

$$v(t)=\frac{dy}{dt}$$

La velocidad puede cambiar con el tiempo; a la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo se le conoce como aceleración. Así la aceleración promedio entre los instantes $t_{0}$, $t_{1}$ es el cociente:

$$a_{prom}=\frac{v(t_{1})-v(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}$$

que nos dice cuanto ha cambiado la velocidad por unidad de tiempo en el lapso que va de $t_{0}$ a $t_{1}$. Como en otros casos de razón de cambio instantánea, la aceleración instantánea en el momento $t_{0}$ es el límite de ese cociente cuando $t_{1}$ se aproxima a $t_{0}$

$$a(t_{0})=\lim_{t_{1} \to t_{0}} \frac{v(t_{1})-v(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}=\frac{dv}{dt}(t_{0})$$

es decir, la derivada de la velocidad.

De manera que la aceleración se obtiene derivando dos veces la función posición, una para obtener la velocidad y la segunda para obtener la aceleración como derivada de la velocidad.

Cuando la velocidad es constante la aceleración es cero, una aceleración constante positiva indica que el móvil incrementa su velocidad en una cantidad fija por unidad de tiempo; una aceleración constante negativa indica que la velocidad disminuye en una cantidad fija por unidad de tiempo.

Pero la aceleración también puede cambiar con el tiempo.

Procedimiento

Para obtener la aceleración de un móvil a partir de su función de posición $y(t)$ en $t_{0}$ se siguen los siguientes pasos:

1. Se deriva la función posición con respecto al tiempo para obtener la velocidad del móvil para todo tiempo $t$: $$v(t)=\frac{dy}{dt}(t)$$
2. Se deriva la función velocidad, con lo que obtenemos la aceleración para cualquier tiempo $t$: $$a(t)=\frac{dv}{dt}(t)$$
3. Se evalúa la función anterior en $t_{0}$.

Ejemplos

Ejercicios