Objetivo

Obtener el punto de inflexión de una función polinomial hasta de grado tres.
Determinar algebraicamente el intervalo donde una función polinomial hasta de grado tres es cóncava hacia arriba.
Determinar algebraicamente el intervalo donde una función polinomial hasta de grado tres es cóncava hacia abajo.

Conceptos básicos

En lecciones anteriores estudiaste como determinar los intervalos en los que una función crece o decrece. En esta lección determinaremos estos intervalos para la derivada de la función, y principalmente veremos que estos intervalos nos dicen algo de cómo se ve la gráfica de la función original.

Nos interesa entonces saber cuándo las pendientes de las tangentes de una función crecen o decrecen, en particular necesitamos saber cuándo la pendiente de una recta es más grande que otra.

Resuelve los siguientes ejercicios en los cuales se pide ordenar 4 gráficas en orden creciente según su pendiente.

Una vez que repasamos cuándo crece o decrece la pendiente de una recta podemos ahora abordar cuándo crece o decrece la derivada de una función. Esto es, cuándo la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es creciente o decreciente al recorrer la gráfica de izquierda a derecha.

Mueve el punto rojo de izquierda a derecha y determina si la pendiente de la recta tangente a la gráfica crece o decrece. Verifica tu respuesta y presiona Siguiente.

Como se puede observar en la escena anterior, la forma de la gráfica, cuando la derivada crece, se ve curvada hacia arriba y cuando decrece se ve curvada hacia abajo. Más precisamente, la gráfica es cóncava hacia arriba cuando la derivada crece y cóncava hacia abajo cuando la derivada decrece.

Los puntos $x$, donde la gráfica de $f$ cambia de concavidad, se llaman puntos de inflexión. Es decir, son los puntos en los que la derivada de $f$ cambia de ser creciente a decreciente.

Procedimiento

Como la derivada es la pendiente de la tangente, entonces sólo hay que determinar en qué intervalos $f'$ crece o decrece. Y, por lo tanto, usamos el método visto anteriormente para determinar los intervalos en los que una función crece o decrece:

Calcular la derivada de $f'$, esto es $f''$.
Encontrar los valores críticos de $f'$, es decir, encontrar las $x$ tales que $f''(x)=0$.
Determinar los intervalos de prueba, es decir, los intervalos en los que los puntos críticos dividen a la recta real.
Analizar el signo de $f''$ en cada uno de los intervalos de prueba. Si $f''$ es positiva, entonces $f$ es cóncava hacia arriba y si $f''$ es negativa, entonces $f$ es cóncava hacia abajo.
Los valores críticos de $f'$, donde $f$ es cóncava hacia arriba de un lado y hacia abajo del otro, son los puntos de inflexión.

Ejercicios

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios siguiendo los pasos que se indican. Cuando termines de contestar un paso, pulsa el botón Verificar para revisar si tu respuesta es correcta. De tener correcta tu respuesta, podrás pulsar el botón Siguiente para avanzar otro paso. Al completar los pasos podrás presionar el botón Otro para generar un nuevo ejercicio.

Esta unidad ha sido revisada en junio de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: Valentina Muñoz Porras

Editores académicos: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego

Editor técnico: Carlos Alberto Serrato Hernández

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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