Objetivos

Obtener el máximo relativo de una función polinomial hasta de grado tres.
Obtener el mínimo relativo de una función polinomial hasta de grado tres.
Determinar el intervalo donde es creciente una función polinomial hasta de grado tres.
Determinar el intervalo donde es decreciente una función polinomial hasta de grado tres.

Conceptos básicos

Un máximo (mínimo) relativo de una función $f$ es un punto de la gráfica de $f$ donde la función cambia de ser creciente (decreciente) a ser decreciente (creciente). Observa la siguiente animación, en ella se muestra algunos máximos y mínimos relativos.

Para encontrar los máximos y mínimos relativos hay que analizar la derivada de la función. En el siguiente cuadro interactivo mueve el punto rojo y observa la derivada de $f$ en cada punto $x$ (la pendiente de la recta dibujada). Pon especial atención en los casos en que $x$ corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

Los valores de $x$ en donde $f'(x)=0$ o $f'(x)$ no está definida son llamados valores críticos. Al punto de la gráfica $(x,f(x))$ asociado a cada valor crítico se le llama punto crítico.

En el cuadro interactivo anterior se pueden notar dos cosas:

Los máximos y mínimos relativos son puntos críticos.
No todos los puntos críticos son máximos o mínimos relativos.

Procedimiento

En el caso de los polinomios, para determinar dónde es creciente o decreciente la función y cuáles son sus máximos y mínimos relativos, se puede proceder de la siguiente manera:

Se calcula la derivada de $f:f'(x)$.
Se calculan los valores críticos. Para lograr esto se encuentran las raíces de $f'(x)=0$. Cuando el polinomio es de grado dos o tres, se tendrá que $f'(x)=0$ será una ecuación lineal o cuadrática, respectivamente. Esto permite usar un despeje o la fórmula general para encontrar las raíces.
Se especifican intervalos relevantes. Si los valores críticos encontrados en el paso 2 son $p_{1}$, $p_{2}$, entonces los intervalos que será necesario analizar son: $$(-∞,p_{1}), \space (p_{1},p_{2}), \space (p_{2},∞)$$
Determinar si $f$ es creciente o decreciente en cada intervalo. Se determina el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos encontrados en el paso 3. Para esto se elige un valor $x_{0}$ en cada intervalo y se evalúa en la derivada $f'(x_{0})$:
- Si $f'(x_{0}) > 0$, entonces $f$ es creciente en el intervalo.
- Si $f'(x_{0}) < 0$, entonces $f$ es decreciente en el intervalo.
Encontrar los máximos y mínimos relativos. Los máximos relativos serán aquellos puntos críticos donde $f$ cambie de creciente a decreciente; y los mínimos relativos, de decreciente a creciente.

Ejemplos

Utiliza el siguiente cuadro interactivo para observar diferentes ejemplos en los cuales se identifican los intervalos donde la función es creciente, decreciente y los máximos y mínimos relativos.

Ejercicios

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios siguiendo los pasos que se indican. Cuando termines de contestar un paso, pulsa el botón Verificar para revisar si tu respuesta es correcta. De tener correcta tu respuesta, podrás pulsar el botón Siguiente para pasar al otro paso. Al completar los pasos podrás presionar el botón Otro para generar un nuevo ejercicio.

Esta unidad ha sido revisada en junio de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: Valentina Muñoz Porras

Editores académicos: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego

Editor técnico: Carlos Alberto Serrato Hernández

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.

Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.