Objetivo

• Identificar la gráfica de $f'(x)$ a partir de la gráfica de $f(x)$, donde $f$ es una función algebraica.
• Identificar la gráfica de $f'(x)$ a partir de la gráfica de $f(x)$, donde $f$ es una función trascendente.

Conceptos básicos

Una función algebraica es aquella que puede expresarse mediante un número finito de términos usando las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Como ejemplos de funciones algebraicas tenemos $$f(x)=3x^{3}-2x^{2}+4x-2,\space f(x)=\displaystyle\frac{1}{x},\space f(x)=\sqrt{x}, \space etc.$$

Por otra parte, las funciones trascendentes son aquellas donde aparecen funciones trigonométricas, logarítmicas, y exponenciales. Algunos ejemplos de funciones trascendentes son $$f(x)=e^{x},\space f(x)=sen(x) \space y \space f(x)=ln(x).$$

Procedimiento

Observa las siguientes funciones.

En la parte superior se muestran las gráficas de dos funciones y un punto que se mueve sobre cada una de ellas. Conforme el punto se mueve, en cada gráfica inferior se muestra el valor de la pendiente instantánea de la función en ese punto. Es decir, las gráficas inferiores corresponden respectivamente a las derivadas de las gráficas superiores.

A continuación, se describen algunas características importantes de la gráfica de la derivada de una función:

1. Si en todos los puntos de un intervalo, la inclinación de la gráfica de una función es a la derecha (o lo que es lo mismo, su pendiente es positiva), el valor correspondiente en la gráfica de su derivada será positivo. Conforme mayor sea la inclinación a la derecha en la gráfica original, mayor será el valor correspondiente en la gráfica de su derivada. Si una porción de una gráfica se encuentra inclinada a la derecha, se dice que dicha porción es creciente.
2. Si en todos los puntos de un intervalo, la inclinación de la gráfica de una función es a la izquierda (o lo que es lo mismo, su pendiente es negativa), el valor correspondiente en la gráfica de su derivada será negativo. Mientras más inclinada a la izquierda se encuentre la gráfica original en un intervalo, menor será el valor correspondiente en la gráfica de su derivada en ese intervalo. Si una porción de una gráfica se encuentra inclinada a la izquierda, se dice que dicha porción es decreciente.
3. Si para todos los puntos para un intervalo, la gráfica de una función es horizontal, el valor correspondiente en la gráfica de su derivada será cero.

Ejemplos

A continuación se presenta una serie de funciones algebraicas para que observes el procedimiento para obtener la gráfica de valores de su pendiente instantánea. Pulsa el botón Generar ejemplo para visualizar la gráfica. Puedes mover el plano arrastrándolo y acercar o alejar la imagen con el pulsador en la esquina inferior derecha.

Nota del revisor:

Los ejemplos de funciones algebráicas que se proponen son funciones polinómicas de grado dos y tres. Estas funciones presentan intervalos de crecimiento (derivada positiva) y decrecimiento (derivada negativa), así que existen valores donde se anula (raices) la función derivada.

Se omiten ejemplos con polinomios de primer grado cuyas correspondientes gráficas son rectas y por lo tanto la función derivada es constante (positiva si está inclinada a la derecha o negativa si está inclinada a la izquierda).

Es útil notar que la derivada de un polinomio es a su vez otro polinomio con un grado inferior.

Ahora veremos ejemplos para gráficas de funciones trascendentes.

Es importante notar que la gráfica de la función de la derivada sólo depende de la inclinación de la gráfica original en cada punto y no de qué tan arriba o abajo se encuentra la original. Ello es en lo particular evidente para $y=ln(kx)$, donde lo único que hace la $k$ es mover la gráfica hacia arriba o abajo. Es por ello que la derivada siempre es $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.

Otro punto relevante es que, si se cuenta con la gráfica de una función y su derivada, recorrer la gráfica original hacia delante o hacia atrás sobre las abscisas corresponde a recorrer su derivada en exactamente la misma forma sobre dicho eje.

Ejercicios

En el siguiente ejercicio, genera al azar la gráfica de una función $f(x)$ como las que se han revisado. Posteriormente se presentarán otras funciones que pueden o no corresponder a la derivada de la función original. Tú debes determinar cuál corresponde a la derivada.

Más adelante se abordará cómo estimar la gráfica de una función $f(x)$ a partir de la de su derivada $f'(x)$.