Objetivo

Obtener la derivada de la composición de funciones del tipo $f(x)=h(g(x))$, donde $h$ y $g$ son funciones trascendentes.

Conceptos básicos

Las funciones $(x^{2}+1)^{100}$, $cos(3x^{3}-2x)$, $3\;sen^{5}(x)+2$ o $e^{tg(x)+x}$ son algunos ejemplos de lo que llamamos composición de funciones. La composición $h \circ g$ de dos funciones es una función que evalúa $g(x)$ y al resultado de esta evaluación le aplica la función $h$. Así

En la siguiente escena puedes observar el significado geométrico de la composición. Mueve el control $x$ en la primera gráfica, la flecha roja muestra el valor $g(x)$, en la segunda gráfica se evalúa $h$ en $u=g(x)$ y en la tercera gráfica ese valor, $h(u)=h(g(x))$ se asocia con $x$. Con los pulsadores puedes cambiar las funciones $g$ y $h$.

La derivada de la composición $h(g(x))$ en el punto $x_{0}$ es el límite del cociente

$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}} =\frac{Δ(h \circ g))}{Δ x}$$

cuando $x$ tiende a $x_{0}$. Si pulsas ver/cerrar en la escena anterior, podrás observar la relación de ese cociente con

$$\frac{Δ(h \circ g))}{∆g}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}$$

y

$$\frac{∆g}{Δ x}= \frac{(g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$

Si $Δ g=g(x)-g(x_{0})≠0$

$$\frac{Δ(h \circ g))}{Δ x}=\frac{Δ(h \circ g))}{∆g}·\frac{∆g}{∆x}$$

Entonces la derivada de la composición

$$\begin{aligned} \frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0}) &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{Δ(h \circ g))}{Δ x} \\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{Δ(h \circ g))}{∆g}·\lim_{x \to x_{0}} \frac{∆g}{Δx} \\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}·\lim_{x \to x_{0}} \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} \end{aligned}$$

y, como $u=g(x)→u_{0}=g(x_{0})$ cuando $x→x_{0}$,

$$\begin{aligned} &= \lim_{u \to u_{0}}\frac{h(u)-h(u_{0}))}{u-u_{0}}·\lim_{x \to x_{0}}\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &= \frac{dh}{du}(u_{0})·\frac{dg}{dx}(x_{0})\\ &= \frac{dh}{du}(f(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0}) \end{aligned}$$

En resumen, obtenemos la $Regla\space de\space la\space Cadena$

$$\frac{d(h \circ g)}{dx} x_{0} = \frac{dh}{du}(f(x_{0})).\frac{dg}{dx}(x_{0})$$

Nota: Cuando $g(x)$ es constante, $Δg=g(x)-g(x_{0})=c-c=0$, como no se puede dividir entre $0$, no podemos sustituir $\displaystyle\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$ por $\displaystyle\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}$. $\displaystyle\frac{Δg}{Δx}$ para ninguna $x$. Pero, en ese caso, la composición $h \circ g(x)$ también es constante: $h(g(x))=h(c)$.

De ahi que

$$\frac{dh}{du}(f(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(f(x_{0}))·0=0$$

y

$$\frac{d(h \circ g)}{dx} (x_{0})=0$$

y que también sea válida la $Regla\space de\space la\space Cadena$.

Procedimiento

Así, para obtener la derivada de la composición de dos funciones $h(g(x))$ en un punto $x_{0}$:

1. Se determina quienes son las funciones $g$ y $h$.
2. Se obtiene la derivada $\displaystyle\frac{dh}{du}$ en el punto $u_{0}=g(x_{0})$.
3. Se obtiene la derivada $\displaystyle\frac{dg}{dx}$ en el punto $x_{0}$.
4. Se multiplican ambas para obtener $\displaystyle\frac{dh(g(x))}{dx}(x_{0})=\displaystyle\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\displaystyle\frac{dg}{dx}(x_{0})$.

Ejemplos

Si usas los pulsadores podrás ver paso a paso el procedimiento aplicado a ejemplos en los que tanto la función $h$ como la función $g$ son trascendentes.

Ejercicios