Composición de funciones y sus derivadas
Derivada de $f(x)=h(g(x))$, donde $h$ y $g$ son algebraicas

Objetivo

Obtener la derivada de la composición de funciones del tipo $f(x)=h(g(x))$, donde $h$ y $g$ son funciones algebraicas.

Conceptos básicos

Las siguientes funciones son algunos ejemplos de lo que llamamos composición de funciones:

La composición $h \circ g$ de dos funciones es una función que primero evalúa $g(x)$ y al resultado de esta evaluación le aplica la función $h$. Así, tenemos que:

(para ver una explicación más detallada presiona el botón correspondiente a cada ejemplo)

En la siguiente escena puedes observar geométricamente el significado de la composición. Mueve el punto $x$ en la primera gráfica, la flecha roja muestra el valor $g(x)$, en la segunda gráfica se evalúa $h$ en $u=g(x)$ y en la tercera gráfica ese valor, $h(u)=h(g(x))$ se asocia con $x$. Con los pulsadores puedes cambiar las funciones $g$ y $h$.

La derivada de la composición $h(g(x))$ en el punto $x_{0}$ es el límite del cociente

$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$$

cuando $x$ tiende a $x_{0}$.

Presiona el botón $Δ$, en la escena anterior, para observar la relación de ese cociente con

$$\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}$$

y

$$\frac{Δg}{Δx}=\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$

Si $Δ g=g(x)-g(x_{0})≠0$ entonces

$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}·\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$

y si llamamos $u=g(x)$ y $u_{0}=g(x_{0})$, vemos que

$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{h(u)-h(u_{0})}{u-u_{0}}·\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$

Además, cuando $x$ tiende a $x_{0}$ tenemos que $u=g(x)$ tiende a $u_{0}=g(x_{0})$.

Entonces la derivada de la composición es

$$\begin{aligned} \frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0}) &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}\\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}·\lim_{x \to x_{0}}\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &=\lim_{u \to u_{0}}{} \frac{h(u)-h(u_{0})}{u-u_{0}}·\lim_{x \to x_{0}}{} \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &=\frac{dh}{du}(u_{0})·\frac{dg}{dx}(x_{0})\\ &=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0}) \end{aligned}$$

En resumen, para calcular la derivada de una composición aplicamos la llamada $Regla\space de\space la\space Cadena$:

$$\frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})$$

Observa que, cuando $g(x)$ es constante,

$$Δg=g(x)-g(x_{0})=c-c=0$$

y entonces no es posible sustituir $\displaystyle\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$ por $\displaystyle\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}·\frac{Δg}{Δx}$ para ningún valor de $x$.

Sin embargo, en ese caso también es constante la composición $(h \circ g)(x)$, ya que $h(g(x))=h(c)$.

De ahí que

$$\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·0=0$$

y

$$\frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0})=0$$

que también sea válida la $Regla\space de\space la\space Cadena$.

Procedimiento

Así, para obtener la derivada de la composición de dos funciones $h(g(x))$ en un punto $x_{0}$ se siguen los siguientes pasos:

  1. Se determina quiénes son las funciones $g$ y $h$.
  2. Se obtiene la derivada $\displaystyle\frac{dh}{du}$ en el punto $u_{0}=g(x_{0})$.
  3. Se obtiene la derivada $\displaystyle\frac{dg}{dx}$ en el punto $x_{0}$.
  4. Se multiplican ambas para obtener $\displaystyle\frac{dh(g(x))}{dx}(x_{0})=\displaystyle\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\displaystyle\frac{dg}{dx}(x_{0})$.

Ejemplos

Pulsa los botones para ver el procedimiento, paso a paso, aplicado a ejemplos en los cuales las dos funciones son algebraicas. Puedes cambiar de ejemplo con los botones de navegación en la parte inferior.

Ejercicios


Esta unidad ha sido revisada en junio de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: María de Lourdes Velasco Arregui

Editores académicos: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego

Editor técnico: Carlos Alberto Serrato Hernández


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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