Objetivo

Obtener la derivada de la composición de funciones del tipo $f(x)=h(g(x))$, donde $h$ y $g$ son funciones algebraicas.

Conceptos básicos

Las siguientes funciones son algunos ejemplos de lo que llamamos composición de funciones:

• $(x^{2}+1)^{100}$
• $cos(3x^{3}-2x)$
• $3\;sen^{5}(x)+2$
• $e^{tan(x)+x}$

La composición $h \circ g$ de dos funciones es una función que primero evalúa $g(x)$ y al resultado de esta evaluación le aplica la función $h$. Así, tenemos que:

(para ver una explicación más detallada presiona el botón correspondiente a cada ejemplo)

En la siguiente escena puedes observar geométricamente el significado de la composición. Mueve el punto $x$ en la primera gráfica, la flecha roja muestra el valor $g(x)$, en la segunda gráfica se evalúa $h$ en $u=g(x)$ y en la tercera gráfica ese valor, $h(u)=h(g(x))$ se asocia con $x$. Con los pulsadores puedes cambiar las funciones $g$ y $h$.

La derivada de la composición $h(g(x))$ en el punto $x_{0}$ es el límite del cociente

$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$$

cuando $x$ tiende a $x_{0}$.

Presiona el botón $Δ$, en la escena anterior, para observar la relación de ese cociente con

$$\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}$$

y

$$\frac{Δg}{Δx}=\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$

Si $Δ g=g(x)-g(x_{0})≠0$ entonces

$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}·\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$

y si llamamos $u=g(x)$ y $u_{0}=g(x_{0})$, vemos que

$$\frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}=\frac{h(u)-h(u_{0})}{u-u_{0}}·\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$$

Además, cuando $x$ tiende a $x_{0}$ tenemos que $u=g(x)$ tiende a $u_{0}=g(x_{0})$.

Entonces la derivada de la composición es

$$\begin{aligned} \frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0}) &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{x-x_{0}}\\ &= \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(g(x))-h(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}·\lim_{x \to x_{0}}\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &=\lim_{u \to u_{0}}{} \frac{h(u)-h(u_{0})}{u-u_{0}}·\lim_{x \to x_{0}}{} \frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\\ &=\frac{dh}{du}(u_{0})·\frac{dg}{dx}(x_{0})\\ &=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0}) \end{aligned}$$

En resumen, para calcular la derivada de una composición aplicamos la llamada $Regla\space de\space la\space Cadena$:

$$\frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})$$

Observa que, cuando $g(x)$ es constante,

$$Δg=g(x)-g(x_{0})=c-c=0$$

y entonces no es posible sustituir $\displaystyle\frac{Δ(h \circ g)}{Δx}$ por $\displaystyle\frac{Δ(h \circ g)}{Δg}·\frac{Δg}{Δx}$ para ningún valor de $x$.

Sin embargo, en ese caso también es constante la composición $(h \circ g)(x)$, ya que $h(g(x))=h(c)$.

De ahí que

$$\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\frac{dg}{dx}(x_{0})=\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·0=0$$

y

$$\frac{d(h \circ g)}{dx}(x_{0})=0$$

que también sea válida la $Regla\space de\space la\space Cadena$.

Procedimiento

Así, para obtener la derivada de la composición de dos funciones $h(g(x))$ en un punto $x_{0}$ se siguen los siguientes pasos:

1. Se determina quiénes son las funciones $g$ y $h$.
2. Se obtiene la derivada $\displaystyle\frac{dh}{du}$ en el punto $u_{0}=g(x_{0})$.
3. Se obtiene la derivada $\displaystyle\frac{dg}{dx}$ en el punto $x_{0}$.
4. Se multiplican ambas para obtener $\displaystyle\frac{dh(g(x))}{dx}(x_{0})=\displaystyle\frac{dh}{du}(g(x_{0}))·\displaystyle\frac{dg}{dx}(x_{0})$.

Ejemplos

Pulsa los botones para ver el procedimiento, paso a paso, aplicado a ejemplos en los cuales las dos funciones son algebraicas. Puedes cambiar de ejemplo con los botones de navegación en la parte inferior.

Ejercicios