Objetivos

• Obtener la derivada de potencias de funciones del tipo $f(x)=c(g(x))^{n}$, donde $g$ es una función algebraica, $n$ es un entero o racional y $c$ es una constante.
• Obtener la derivada de potencias de funciones del tipo $f(x)=c(g(x))^{n}$, donde $g$ es una función trascendente, $n$ es un entero o racional y $c$ es una constante.

Procedimiento

Las funciones del tipo $f(x)=c(g(x))^{n}$ son el producto de una constante $c$ y una función compuesta $h(x)=g(x)^{n}$.

Recordemos que la derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función; así, tenemos que

$$\tag{1} (c h(x))'=c(h'(x))$$

que con la notación de Leibniz es igual a:

$$\frac{d}{dx}ch(x)=c\frac{d}{dx}h(x)$$

Para calcular la derivada de una composición de funciones, se utiliza la regla de la cadena, que en el caso en el que la segunda función que se aplica es una potenciación:

$$\tag{2} (g^{n})'(x)=n(g^{n-1}(x))g'(x)$$

o bien, con la notación de Leibniz, al llamar $u=g(x)$, tenemos que:

$$\tag{3} \frac{du^{n}}{dx}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}$$

Las fórmulas (2) y (3) son ciertas para cualquier número real $n$, aunque en esta lección nos limitaremos a valores de $n$ racionales.

Ejemplos

Ejercicios