Objetivos

• Obtener, por fórmula, la derivada de sumas y/o diferencias de funciones algebraicas no compuestas.
• Obtener, por fórmula, la derivada de sumas y/o diferencias de funciones trascendentes no compuestas.
• Obtener, por fórmula, la derivada de sumas y/o diferencias de funciones algebraicas y trascendentes no compuestas.

Fórmulas

La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas, y análogamente, la derivada de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus derivadas:

$$\tag{regla de la suma} (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$$ $$\tag{regla de la diferencia} (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$$

de modo que, para derivar una función que es suma (o diferencia) de dos funciones, basta obtener la derivada de cada una de las funciones y después sumar (o restar) las funciones obtenidas.

Justificación

Veamos la demostración de la fórmula de la derivada de una suma de funciones:

$$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$$

La definición de la derivada de una función es

$$f'(x)=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}$$

Usemos esta definición para obtener la derivada de la función $f(x)+g(x)$

$$(f+g)'(x)=\lim_{∆x \to 0}{\frac{(f(x+∆x)+g(x+∆x))-(f(x)+g(x))}{∆x}}$$

al quitar paréntesis se obtiene

$$=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)+g(x+∆x)-f(x)-g(x)}{∆x}}$$

después, al reagrupar términos tenemos

$$=\lim_{∆x \to 0}{(\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}+\frac{g(x+∆x)-g(x)}{∆x})}$$

y, como el límite de una suma es la suma de límites, entonces

$$=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}+\lim_{∆x \to 0}{\frac{g(x+∆x)-g(x)}{∆x}}}$$

y esto es precisamente la suma de la derivada de cada función

$$=f'(x)+g'(x)$$

Observación 1. Hay que notar que la regla de la derivada de la suma de dos funciones se puede generalizar para el caso de más de dos funciones. La regla es válida para un número finito de funciones

$$(f_{1}+f_{2}+...+f_{n})'(x)=f_{1}'(x)+f_{2}'(x)+...+f_{n}'(x)$$

Observación 2. Recuerda que la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función: $(cf)'(x) =cf '(x)$. Entonces, por este hecho y la observación 1, tenemos un método muy directo para derivar cualquier polinomio.

Para derivar un polinomio basta con realizar los siguientes dos pasos:

1. derivar cada uno de los términos del polinomio y
2. sumar las derivadas resultantes.

Ejemplos

En el siguiente cuadro interactivo se muestra un polinomio con su derivada. Presiona el botón para ver otros ejemplos.

En el siguiente cuadro interactivo se muestran ejemplos de la suma y diferencia de diversas funciones. Utiliza los pulsadores para elegir $f$ y $g$. Si deseas conocer la derivada de la diferencia, cambia la opción del menú:

Ejercicios

Calcula la derivada del polinomio, verifica tu respuesta y resuelve más ejercicios.

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