Objetivos

Obtener por fórmula, la derivada de alguna de las siguientes funciones:

Procedimiento

Para obtener las derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales se sigue la fórmula correspondiente. Las fórmulas se muestran a continuación.

$\displaystyle \frac{d}{dx}ln\;x=\displaystyle \frac{1}{x}$ $\displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}log_{a} x=\displaystyle \frac{1}{x}log_{a} e$ $\displaystyle \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}ln\;a$

La manera de emplearlas se muestra más adelante, en la sección de ejemplos.

Justificación

Obtención de la fórmula de la derivada de $\displaystyle \frac{d}{dx}a^{x}$, que en este caso se obtiene mediante derivación implícita.

$$y=a^{x}$$

Aplicando $ln$ en ambos miembros tenemos

$$\begin{aligned} ln\;y &= ln(a^{x})\\ ln\;y &= x\;ln\;a \end{aligned}$$

y derivando implícitamente queda

$$\begin{aligned} \frac{1}{y} y' &= (1)ln\;a \\ y' &= y\;ln\;a \end{aligned}$$

Sustituyendo la función inicial, obtenemos la fórmula buscada

$$\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\;ln\;$$

La fórmula de $y=e^{x}$ se obtiene de manera similar, pero las que incluyen logaritmos se obtienen aplicando la definición con el límite y las propiedades de los logaritmos.

Ejemplos

Selecciona la fórmula que deseas observar en el ejemplo y después presiona el botón Continuar para ver el procedimiento de ésta.

Ejercicios

Escribe el resultado que se obtiene al derivar la función planteada.

Nota del revisor:

La calculadora que se proporciona para dar el resultado rotula el logarirmo neperiano con $log$ en vez de $ln$.

El error admitido en la expresión decimal debe de ser menor que 0,01.