Objetivos

Obtener por fórmula, la derivada de funciones del tipo

Procedimiento

Para obtener las derivadas de las funciones trigonométricas se sigue la fórmula correspondiente. Las fórmulas se muestran a continuación.

$\displaystyle \frac{d}{dx}sen\;x=cos\;x$ $\displaystyle \frac{d}{dx}tan\;x=sec^{2}\;x$ $\displaystyle \frac{d}{dx}sec\;x=sec\;x\;tan\;x$

$\displaystyle \frac{d}{dx}cos\;x=-sen\;x$ $\displaystyle \frac{d}{dx}cot\;x=-csc^{2}\;$ $\displaystyle \frac{d}{dx}csc\;=-csc\;x\;cot\;x$

La manera de emplearlas se muestra abajo, en los ejemplos.

Justificación

Obtención de la fórmula de la derivada de $\displaystyle \frac{d}{dx}sen\;x$ a partir de la definición con el límite.

La derivada de una función se expresa como el límite

$$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

y sustituyendo se tiene

$$\frac{d}{dx}sen\;x=\lim_{h \to 0}{\frac{sen\;(x+h)-sen\;x}{h}}$$

Aplicando la identidad para la suma de ángulos obtenemos

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}sen\;x &= \lim_{h \to 0}{\frac{sen\;x\;cos\;h+cos\;x\;sen\;h-sen\;x}{h}} \\ \frac{d}{dx}sen\;x &= \lim_{h \to 0}{\frac{sen\;x(cos\;h-1)+cos\;x\;sen\; h}{h}} \\ \frac{d}{dx}sen\;x &= \lim_{h \to 0}{(sen\;x(\frac{cos\;h-1}{h})+cos\;x(\frac{sen\;h}{h}))} \end{aligned}$$

y utilizando los dos teoremas $\displaystyle \lim_{h \to 0}{(\frac{cos\;h-1}{h})=0}$ y $\displaystyle \lim_{h \to 0}{\frac{sen\;h}{h}=1} $, obtenemos

$$\frac{d}{dx}sen\;x=(sen\;x)(0)+(cos\;x)(1)$$

que es la fórmula buscada

$$\frac{d}{dx}sen\;x=cos\;x$$

Las otras fórmulas se determinan de manera similar.

Ejemplos

Selecciona la derivada que quieras practicar y presiona el botón Continuar para ver el procedimiento.

Ejercicios

Escribe el resultado que se obtiene al derivar la función planteada.