Objetivo

Obtener por racionalización el valor del límite de una función que dé lugar a una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$.

Conceptos básicos

Nota: Debido a que es más natural el concepto de continuidad que el de límite, es conveniente estudiar primero las lecciones de continuidad y después las de límite.

Si una función $y=f(x)$ es continua en $x=a$, entonces el valor del límite de ella, cuando $x$ tiende a $a$ es $f(a)$; es decir,

$$\lim_{x \to a}{f(x)=f(a)}$$

La gran mayoría de las funciones que utilizamos cotidianamente son continuas en todos los valores de $x$ donde están definidas.

Cuando la función no está definida en $a$ porque presenta alguna indeterminación, es necesario buscar un valor $L$ tal que haga continua la función en $a$.

Un caso frecuente es cuando la función es cociente de dos funciones

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$

que se anulan en $a$, es decir, $g(a)=0$ y $h(a)=0$, y además una de ellas tiene un factor de la forma $\sqrt{x}-\sqrt{a}$ o de la forma $\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}$. En este caso no podemos utilizar la regla del cociente de límites, pues

$$\lim_{x \to a}{h(x)}=0$$

Procedimiento

Para resolver este tipo de límites, conviene recordar algunos productos notables:

$$\tag{1} (p-q)(p+q)=p^{2}-q^{2}$$

y

$$\tag{2} (p-q)(p^{2}+pq+q^{2})=p^{3}-q^{3}$$

El factor por el que se multiplica a $(p-q)$ para obtener una diferencia de cuadrados en la ecuación (1) o una diferencia de cubos en la ecuación (2) se llama factor conjugado.

Si en la ecuación (1) se sustituye $p=\sqrt{a}$ y $q=\sqrt{b}$ se obtiene

$$\tag{3} (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$$

Y si en la ecuación (2) se sustituye $p=\sqrt[3]{a}$ y $q=\sqrt[2]{b}$ se obtiene

$$\tag{4} (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^{2}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+(\sqrt[3]{b})^{2})=a-b$$

Para resolver este tipo de límites se multiplica el numerador y el denominador de la función dada por el conjugado del binomio que contiene radicales usando las fórmulas (3) y (4)

Ejemplos

Ejercicios

En los siguientes ejercicios, escribe las respuestas en los cuadros de texto y oprime ↵. Si la respuesta es correcta, se inhabilitará el cuadro y podrás continuar. En estos campos puedes escribir expresiones aritméticas, por ejemplo, $3+5$, $pi/2$, $4\text{\textasciicircum}3$ (para elevar al cubo), $6\text{\textasciicircum}(1/3)$ (para sacar raíz cúbica), etc.