Objetivo

Obtener el valor del límite de una función $f(x)$ cuando $x$ tiende a un número $a$ y no presenta indeterminación.

Conceptos básicos

Nota: Debido a que es más natural el concepto de continuidad que el concepto de límite, es conveniente estudiar primero las lecciones de continuidad y después las de límite.

Si una función es continua en un número $a$, entonces el valor del límite de ella, cuando $x$ tiende a $a$, es $f(a)$; es decir,

$$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$$

La gran mayoría de las funciones que utilizamos cotidianamente son continuas en todos los números donde están definidas.

• Las funciones polinomiales, $f(x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_{1}x+c_{0}$, son continuas en todos los reales.
• Las funciones racionales, es decir, los cocientes de funciones polinomiales
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$
• son continuas en todos los números $a$ para los cuales $g(a)≠0$.
• Las funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, son continuas en todos los números donde están definidas.
• Las funciones logarítmo y exponencial son continuas en todos los números donde están definidas.

Operaciones con límites

• La suma de dos funciones continuas es una función continua donde está definida. Debido a esto, se tiene que $$\lim_{x \to a}(f+g)(x) = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)$$
• El producto de dos funciones continuas es una función continua donde está definida. Debido a esto, se tiene que $$\lim_{x \to a}(f·g)(x) = \lim_{x \to a}f(x) · \lim_{x \to a}g(x)$$
• El cociente de dos funciones continuas es una función continua donde está definida. Debido a esto, se tiene que $$\lim_{x \to a}\frac{f}{g}(x) = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$$ siempre que $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x) ≠0$.

Procedimiento

Para calcular el límite de una función $f$ en un punto $a$,

$$\lim_{x \to a} f(x)$$

analizamos si la función es continua en ese número; si lo es, simplemente evaluamos la función en $a$, y éste es el valor del límite buscado.

Los casos en los que la función no está definida en $a$, o la función no es continua, los estudiaremos en lecciones posteriores.

Ejemplos

Ejercicios

En cada uno de los siguientes ejercicios, escribe la respuesta en el cuadro de texto y haz clic en el botón Verificar. Si la respuesta es correcta, se inhabilitará el cuadro y podrás continuar, de lo contrario el cuadro permanecerá activo para que introduzcas una nueva respuesta. En estos campos puedes escribir expresiones aritméticas, por ejemplo, $3+5$, $pi/2$, etc.