Objetivo
Determinar dominio y rango de funciones logarítmicas del tipo $f(x)=c\;ln\;x$.
Procedimiento
Recordemos los siguientes puntos:
El número $e$, o constante de Napier, equivale aproximadamente a $2.718281$ etc. Para fines de cálculo, en esta lección puedes redondearlo a $2.72$.
El logaritmo natural de un número $x$, es el exponente $n$ al que hay que elevar al número e para que nos dé dicho número $x$.
$ln x=n$ entonces $x=e^{n}$
Ejemplo:
¿Cuánto vale $ln\;1$? Si $e^{x}=1$, entonces $x=0$, ya que $e^{0}=1$. Por lo tanto, $ln\;1=0$.
Con esto podemos ver que el logaritmo natural, o logaritmo con base $e$ es la función inversa de la función exponencial con base $e$. Este hecho lo desarrollaremos a continuación.
La función logaritmo natural es la función inversa de la exponencial con base $e$:
$f(x)=ln\;x$ es la función inversa de $g(x)=e^{x}$
Esto quiere decir que cada elemento del dominio de la exponencial es un elemento del rango del logaritmo y que cada elemento del rango de la exponencial es un elemento del dominio del logaritmo. Como el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, entonces el rango de la función logaritmo natural es el conjunto de todos los números reales. Como el rango de la función exponencial es el conjunto de los números reales positivos, entonces el dominio de la función logaritmo es el conjunto de los reales positivos.
Observa la siguiente tabla, en el primer renglón se muestra la operación que se utiliza para calcular el logaritmo natural de una potencia de $10$. Observa como son los valores:
Aunque el valor de una $x$ del dominio sea muy grande, el valor de su logaritmo natural, $ln\;x$, es pequeño en comparación.
A continuación se muestra la gráfica de la función $f(x)=c\;ln\;x$ junto con la gráfica de su función inversa $g(x)=e^{\frac{x}{c}}$.
Modifica los valores de la constante $c$ y observa cómo son las gráficas correspondientes.
Como puedes observar, ambas funciones son el reflejo de la otra con respecto a la función identidad ($I(x)=x$).
Aquí se aprecia gráficamente que el dominio de la función exponencial es el rango de la función logaritmo natural y viceversa.
Modifica el valor de $c$ y haz que la gráfica del logaritmo cruce a la recta identidad ($y=x$), hay dos formas contrarias de hacerlo, usando valores menores que cero y mayores que $e$. Mueve el valor de $c$ dejando las sombras desde $-20$ hasta $20$, ¿en algún momento pasas por el punto $(1,1)$?
Ejercicios
Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.
Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor: Claudio Francisco Nebbia Rubio
Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Octavio Fonseca Ramos
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Joel Espinosa Longi
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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