Objetivo
Determinar dominio y rango de funciones logarítmicas del tipo $f(x)=c\;log_{a}x$.
Procedimiento
Recordemos que el logaritmo de un número $x$, es el exponente $n$ al que hay que elevar la base dada $b$ para obtener el número $x$:
$log_{b}x=n$ entonces $x=b^{n}$
Ejemplo:
¿Cuánto vale $log_{3}81?$ Si $3^{x}=81$, entonces $x=4$, ya que $3^{4}=3×3×3×3=9×9=81$. Por lo tanto $log_{3}81=4$.
Con esto podemos ver que el logaritmo con base $b$ es la función inversa de la función exponencial con la misma base. Este hecho lo desarrollaremos a continuación.
La función logaritmo base $b$ es la función inversa de la exponencial con la misma base:
$f(x)=log_{a}x$ es la función inversa de $g(x)=a^{x}$
Esto quiere decir que cada elemento del dominio de la exponencial es un elemento del rango del logaritmo, y que cada elemento del rango de la exponencial es un elemento del dominio del logaritmo. Puedes corroborar esto tomando un número real $x$ cualquiera, (recordemos que el dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales); si elevamos la base de la exponencial al exponente $x$, obtendremos un elemento $y=a^{x}$ del dominio del logaritmo. Este elemento $y$, al aplicarle el logaritmo, va a parar nuevamente al número $x$, esta vez en el rango, es decir $log_{a}y=x$. De aquí concluimos que, el rango de la función logaritmo es el conjunto de los números reales.
De forma similar, si tomamos un elemento $y$ del rango de la exponencial, es decir $y=a^{x}$ para algún $x$ real, entonces $y$ pertenece al dominio del logaritmo ya que $log_{a}y=x$. Por lo tanto, el dominio de la función logaritmo es el conjunto de los números reales mayores que $0$.
Cabe recalcar que, aunque de la expresión $-1^{-1}=\frac{1}{-1}=-1$ se pueda deducir que $log_{-1}-1=-1$, esto no tiene sentido, ya que la función $f(x)=-1^{x}$ no esta bien definida en todos los números reales, en particular es imposible definirla sin ambigüedades en los números irracionales. Por lo mismo, no se admiten bases negativas en las funciones logarítmicas.
Así mismo $1^{x}=1$ sin importar el valor de $x$, por lo tanto no tiene función inversa. De esto concluimos que no es posible un logaritmo base $1$.
Observa la siguiente tabla, en el primer renglón se muestra la operación que se utiliza para calcular el logaritmo de una potencia de $10$, a la base que indiques. Modifica el valor de la base y observa cómo son los resultados:
Observa como, aunque los valores a evaluar sean muy grandes, el valor de sus logaritmos es bastante pequeño en comparación.
A continuación se muestra la gráfica de la función $f(x)=b^{x}$ junto con la gráfica de la función $g(x)=log_{b}(x)$.
Modifica los valores de la base y observa cómo son las gráficas correspondientes.
Como puedes observar, ambas funciones son el reflejo de la otra con respecto a la función identidad, recta de color gris.
Aquí, se puede apreciar gráficamente, que el dominio de la función exponencial es el rango de la función logaritmo y viceversa.
Si consideramos la función $f(x)=c\;log_{a}x$, $c≠0$ tendremos el mismo dominio y rango del logaritmo original.
Ejercicios
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Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor: Claudio Francisco Nebbia Rubio
Edición académica: Fernando René Martínez Ortiz y Octavio Fonseca Ramos
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Joel Espinosa Longi
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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