Objetivo

Determinar dominio y rango de funciones logarítmicas del tipo $f(x)=c\;log\;x$.

Antecedentes

Recordemos que el logaritmo de un número $x$, si no se indica la base, es el exponente $n$ al que hay que elevar al número $10$ para que nos dé dicho número $x$.

$log\;x=n$ entonces $x=10^{n}$

Ejemplo:

¿Cuánto vale $log\;1000$? Si $10^{x}=1000$, entonces $x=3$, ya que $10^{3}=1000$. Por lo tanto, $log 1000=3$.

Con esto podemos ver que el logaritmo con base $10$ es la función inversa de la función exponencial con la misma base. Este hecho lo desarrollaremos a continuación.

Procedimiento

La función logaritmo base $10$ es la función inversa de la exponencial con la misma base:

$f(x)=log\;x$ es la función inversa de $g(x)=10^{x}$

Esto quiere decir que cada elemento del dominio de la exponencial es un elemento del rango de la función logaritmo y que cada elemento del rango de la exponencial es un elemento del dominio de la función logaritmo. Como el dominio de la función exponencial es todos los reales, entonces el rango de la función logaritmo es todos los reales. Como el rango de la función exponencial es el conjunto de los reales positivos, entonces el dominio de la función logaritmo es el conjunto de los reales positivos.

Observa la siguiente tabla, en el primer renglón se muestra la operación que se utiliza para calcular el logaritmo de una potencia de $10$, en base $10$. Observa como son los resultados:

Aunque los valores $x$ del dominio sean muy grandes, el valor de sus logaritmos, $log\;x$, es bastante pequeño en comparación.

A continuación se muestra la gráfica de la función $f(x)=c\;log\;x$ junto con la gráfica de su función inversa $g(x)=10^{\frac{x}{c}}$.

Modifica los valores de la constante $c$ y observa cómo son las gráficas correspondientes.

Como puedes observar, ambas funciones son el reflejo de la otra con respecto a la función identidad, pintada de color gris.

Aquí se puede apreciar gráficamente que el dominio de la función exponencial es el rango de la función logaritmo y viceversa.

Modificando el valor de $c$ haz que la gráfica del logaritmo cruce a la recta identidad, $y=x$, hay dos formas contrarias de hacerlo. Observando las sombras que deja la gráfica contesta: ¿Habrá algún valor de c donde $f(x)=c\;log\;x$ pase por el punto $(1,1)$?

Ejercicios