Funciones logarítmicas
Propiedades de los logaritmos

Objetivo

Identificar la correcta aplicación de las propiedades de los logaritmos (de un producto, de un cociente, de una potencia y de una raíz).

Procedimiento

Recordemos que el logaritmo de un número $x$, es el exponente ($n$) al que hay que elevar la base dada ($b$), para que nos dé dicho número ($x$).

$log_{b}x=n$ entonces $x=b^{n}$

Ejemplo:

¿Cuánto vale $log_{3}81$? Si $3^{x}=81$, entonces $x=4$, ya que $3^{4}=3x3x3x3=9x9=81$. Por lo tanto $log_{3}81=4$.

Con esto podemos ver que el logaritmo es la función inversa de la función exponencial.

Propiedades de los logaritmos

Producto

Observa la siguiente expresión:

Si $log_{a}(xy)=n$ entonces $a^{n}=xy$

Podemos expresar el logaritmo de $x$ y de $y$ por separado de la siguiente forma:

$log_{a}x=n_{0}, \space log_{a}y=n_{1}$ entonces $a^{n_0}=x, \space a^{n_1}=y$

De las dos conclusiones anteriores podemos deducir lo siguiente:

$a^{n}=xy=a^{n_0}a^{n_1}=a^{n_0+n_1}$

por lo tanto:

$n=n_{0}+n_{1}$ que es lo mismo que $log_{a}(xy)=log_{a}x+log_{a}y$

Propiedad del producto: El logaritmo de un producto ($log_{a}(xy)$) es igual a la suma de los logaritmos de los factores ($log_{a}x+log_{a}y$).

Cociente

Observa la siguiente expresión:

Si $log_{a}(\displaystyle \frac{x}{y})=n$ entonces $a^{n}=\displaystyle \frac{x}{y}$

Podemos expresar el logaritmo de $x$ y de $y$ por separado de la siguiente forma:

$log_{a}x=n_{0},\space log_{a}y=n_{1}$ entonces $a^{n_0}=x, \space a^{n_1} = y$

De las dos expresiones anteriores podemos deducir lo siguiente:

$a^{n}=\displaystyle \frac{x}{y}=\displaystyle \frac{a^{n_0}}{a^{n_1}}=a^{n_0-n_1}$

por lo tanto:

$n=n_{0}-n_{1}$ que es lo mismo que $log_{a}(\displaystyle \frac{x}{y})=log_{a}x-log_{a}y$

Propiedad del cociente: El logaritmo de un cociente ($log_{a}(\frac{x}{y})$) es igual a la diferencia del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador ($log_{a}x-log_{a}y$).

Potencia

Observa la siguiente expresión:

Si $log_{a}(x^{y})=n$ entonces $a^{n}=x^{y}$

Podemos expresar el logaritmo de $x$ por separado de la siguiente forma:

$log_{a}x=n_{0}$ entonces $a^{n_0}=x$

De las dos expresiones anteriores podemos deducir lo siguiente:

$a^{n}=x^{y}=(a^{n_0})^{y}=a^{y n_0}$

por lo tanto:

$n = y n_{0}$ que es lo mismo que $log_{a}(x^{y})=y log_{a}x$

Propiedad de la potencia: El logaritmo de un valor elevado a una potencia ($log_{a}(x^{y})$) es igual al producto de la potencia por el logaritmo del valor ($y log_{a}x$).

Raíz

Observa la siguiente expresión:

Si $log_{a}(\sqrt{x})=n$ entonces $a^{n}=\sqrt{x}$

como $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ entonces tenemos que $log_{a}(\sqrt{x})=log_{a}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}log_{a}x$.

Propiedad de la raíz: El logaritmo de la raíz de un valor ($log_{a}(\sqrt[ ]{x})$) es igual a la mitad del logaritmo del valor dado ($\frac{1}{2} log_{a}x$).

Ejercicios


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Claudio Francisco Nebbia Rubio

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Octavio Fonseca Ramos

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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