Objetivo

Identificar la correcta aplicación de las propiedades de los logaritmos (de un producto, de un cociente, de una potencia y de una raíz).

Procedimiento

Recordemos que el logaritmo de un número $x$, es el exponente ($n$) al que hay que elevar la base dada ($b$), para que nos dé dicho número ($x$).

$log_{b}x=n$ entonces $x=b^{n}$

Ejemplo:

¿Cuánto vale $log_{3}81$? Si $3^{x}=81$, entonces $x=4$, ya que $3^{4}=3x3x3x3=9x9=81$. Por lo tanto $log_{3}81=4$.

Con esto podemos ver que el logaritmo es la función inversa de la función exponencial.

Propiedades de los logaritmos

Producto

Observa la siguiente expresión:

Si $log_{a}(xy)=n$ entonces $a^{n}=xy$

Podemos expresar el logaritmo de $x$ y de $y$ por separado de la siguiente forma:

$log_{a}x=n_{0}, \space log_{a}y=n_{1}$ entonces $a^{n_0}=x, \space a^{n_1}=y$

De las dos conclusiones anteriores podemos deducir lo siguiente:

$a^{n}=xy=a^{n_0}a^{n_1}=a^{n_0+n_1}$

por lo tanto:

$n=n_{0}+n_{1}$ que es lo mismo que $log_{a}(xy)=log_{a}x+log_{a}y$

Propiedad del producto: El logaritmo de un producto ($log_{a}(xy)$) es igual a la suma de los logaritmos de los factores ($log_{a}x+log_{a}y$).

Cociente

Observa la siguiente expresión:

Si $log_{a}(\displaystyle \frac{x}{y})=n$ entonces $a^{n}=\displaystyle \frac{x}{y}$

Podemos expresar el logaritmo de $x$ y de $y$ por separado de la siguiente forma:

$log_{a}x=n_{0},\space log_{a}y=n_{1}$ entonces $a^{n_0}=x, \space a^{n_1} = y$

De las dos expresiones anteriores podemos deducir lo siguiente:

$a^{n}=\displaystyle \frac{x}{y}=\displaystyle \frac{a^{n_0}}{a^{n_1}}=a^{n_0-n_1}$

por lo tanto:

$n=n_{0}-n_{1}$ que es lo mismo que $log_{a}(\displaystyle \frac{x}{y})=log_{a}x-log_{a}y$

Propiedad del cociente: El logaritmo de un cociente ($log_{a}(\frac{x}{y})$) es igual a la diferencia del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador ($log_{a}x-log_{a}y$).

Potencia

Observa la siguiente expresión:

Si $log_{a}(x^{y})=n$ entonces $a^{n}=x^{y}$

Podemos expresar el logaritmo de $x$ por separado de la siguiente forma:

$log_{a}x=n_{0}$ entonces $a^{n_0}=x$

De las dos expresiones anteriores podemos deducir lo siguiente:

$a^{n}=x^{y}=(a^{n_0})^{y}=a^{y n_0}$

por lo tanto:

$n = y n_{0}$ que es lo mismo que $log_{a}(x^{y})=y log_{a}x$

Propiedad de la potencia: El logaritmo de un valor elevado a una potencia ($log_{a}(x^{y})$) es igual al producto de la potencia por el logaritmo del valor ($y log_{a}x$).

Raíz

Observa la siguiente expresión:

Si $log_{a}(\sqrt{x})=n$ entonces $a^{n}=\sqrt{x}$

como $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ entonces tenemos que $log_{a}(\sqrt{x})=log_{a}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}log_{a}x$.

Propiedad de la raíz: El logaritmo de la raíz de un valor ($log_{a}(\sqrt[ ]{x})$) es igual a la mitad del logaritmo del valor dado ($\frac{1}{2} log_{a}x$).

Ejercicios