Funciones exponenciales
Dominio y rango de las funciones del tipo cexce^{x}

Objetivo

Determinar el dominio y rango de funciones del tipo f(x)=cexf(x)=ce^{x}.

Antecedentes

Recordemos que el número ee es el número cuyo logaritmo natural vale 11, y equivale aproximadamente a 2.722.72.

Nota del revisor:

El número ee es un número irracional, esto es, consta de infinitas cifras decimales sin que se llegue a formar un grupo periódico e=2,717281828284...e=2,717281828284.... Se obtiene como valor límite al que tiende la función y=(1+1x)x, x0y=(1+\displaystyle \frac{1}{x})^x,\space x \geqslant 0, cuando hacemos xx arbitrariamente grande: y=ey=e es por tanto una asíntota horizontal.

El número ee es de gran interés en matemáticas y muchas cuestiones se simplifican al utilizar expresiones construidas con la función exponencial exe^x. El número ee se utiliza por esta razón como base de los logaritmos llamados naturales, cumpliéndose la equivalencia y=ex    x=logeyy=e^x \iff x=log_e y por esto se decía al principio que el logatitmo natural de ee es 1, ya que logee=1    e=e1log_e e=1 \iff e=e^1

Una expresión como e4e^{4} nos indica que hay que multiplicar el número de la base, en este caso ee, tantas veces como indica el exponente, en este caso 44.

e4=e×e×e×ee^{4}=e×e×e×e

Las expresiones con exponentes negativos, como e4e^{-4}, son equivalentes al inverso multiplicativo de la misma expresión con exponente positivo, por ejemplo e4=1e4=1e×e×e×ee^{-4}=\displaystyle \frac{1}{e^{4}}=\frac{1}{e×e×e×e}. Por último, hay que tener presente que e13e^{\frac{1}{3}} es equivalente a e3\sqrt[3]{e}. En general epq=epqe^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{e^{p}}.

Procedimiento

Con lo mencionado en los antecedentes, puedes deducir que el dominio de las funciones del tipo f(x)=cexf(x)=ce^{x} incluye a todos los números enteros y se extiende a todos los números racionales.

Aunque no es inmediato, es importante saber que el dominio de estas funciones incluye también a los números irracionales, por lo que su dominio es el conjunto de los números reales.

Observa la siguiente tabla, en el primer renglón se muestra la operación que eleva el número ee al exponente indicado y en el segundo renglón el resultado de dicha operación. Observa cómo son los resultados según el exponente:

De la propiedad anterior se deduce que, si p>0p>0, entonces epe^{p} es mayor que 11, pues 1=e01=e^{0}. Como cualquier número mayor que uno tiene su inverso multiplicativo entre cero y uno, y epe^{-p} es el inverso multiplicativo de epe^{p}, entonces epe^{-p} se encuentra entre 00 y 11. De esto podemos concluir que la función exponencial exe^{x} tiene como rango los números mayores que 00.

A continuación, se muestra la gráfica de la función f(x)=cexf(x)=ce^{x}, donde cc es un coeficiente cualquiera. Modifica los valores del coeficiente mientras observas cómo es la gráfica correspondiente.

Si el coeficiente cc es positivo, la función toma valores entre cero y cc cuando la xx es negativa, y toma valores mayores que cc cuando la xx es positiva.

De lo anterior se deduce que cuando el coeficiente cc es positivo entonces el rango de la función son los reales mayores que 00.

De forma similar puedes concluir que, cuando el coeficiente es negativo, el rango de la función son los reales menores que cero. Para comprobarlo, modifica los valores en la gráfica y observa qué sucede.

Ejercicios


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Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Claudio Francisco Nebbia Rubio

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