Objetivo

Determinar el dominio y rango de funciones del tipo $f(x)=ce^{x}$.

Antecedentes

Recordemos que el número $e$ es el número cuyo logaritmo natural vale $1$, y equivale aproximadamente a $2.72$.

Nota del revisor:

El número $e$ es un número irracional, esto es, consta de infinitas cifras decimales sin que se llegue a formar un grupo periódico $e=2,717281828284...$. Se obtiene como valor límite al que tiende la función $y=(1+\displaystyle \frac{1}{x})^x,\space x \geqslant 0$, cuando hacemos $x$ arbitrariamente grande: $y=e$ es por tanto una asíntota horizontal.

El número $e$ es de gran interés en matemáticas y muchas cuestiones se simplifican al utilizar expresiones construidas con la función exponencial $e^x$. El número $e$ se utiliza por esta razón como base de los logaritmos llamados naturales, cumpliéndose la equivalencia $$y=e^x \iff x=log_e y$$ por esto se decía al principio que el logatitmo natural de $e$ es 1, ya que $log_e e=1 \iff e=e^1$

Una expresión como $e^{4}$ nos indica que hay que multiplicar el número de la base, en este caso $e$, tantas veces como indica el exponente, en este caso $4$.

$$e^{4}=e×e×e×e$$

Las expresiones con exponentes negativos, como $e^{-4}$, son equivalentes al inverso multiplicativo de la misma expresión con exponente positivo, por ejemplo $e^{-4}=\displaystyle \frac{1}{e^{4}}=\frac{1}{e×e×e×e}$. Por último, hay que tener presente que $e^{\frac{1}{3}}$ es equivalente a $\sqrt[3]{e}$. En general $e^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{e^{p}}$.

Procedimiento

Con lo mencionado en los antecedentes, puedes deducir que el dominio de las funciones del tipo $f(x)=ce^{x}$ incluye a todos los números enteros y se extiende a todos los números racionales.

Aunque no es inmediato, es importante saber que el dominio de estas funciones incluye también a los números irracionales, por lo que su dominio es el conjunto de los números reales.

Observa la siguiente tabla, en el primer renglón se muestra la operación que eleva el número $e$ al exponente indicado y en el segundo renglón el resultado de dicha operación. Observa cómo son los resultados según el exponente:

De la propiedad anterior se deduce que, si $p>0$, entonces $e^{p}$ es mayor que $1$, pues $1=e^{0}$. Como cualquier número mayor que uno tiene su inverso multiplicativo entre cero y uno, y $e^{-p}$ es el inverso multiplicativo de $e^{p}$, entonces $e^{-p}$ se encuentra entre $0$ y $1$. De esto podemos concluir que la función exponencial $e^{x}$ tiene como rango los números mayores que $0$.

A continuación, se muestra la gráfica de la función $f(x)=ce^{x}$, donde $c$ es un coeficiente cualquiera. Modifica los valores del coeficiente mientras observas cómo es la gráfica correspondiente.

Si el coeficiente $c$ es positivo, la función toma valores entre cero y $c$ cuando la $x$ es negativa, y toma valores mayores que $c$ cuando la $x$ es positiva.

De lo anterior se deduce que cuando el coeficiente $c$ es positivo entonces el rango de la función son los reales mayores que $0$.

De forma similar puedes concluir que, cuando el coeficiente es negativo, el rango de la función son los reales menores que cero. Para comprobarlo, modifica los valores en la gráfica y observa qué sucede.

Ejercicios