Objetivo

Determinar dominio y rango de funciones exponenciales del tipo $f(x)=c(\frac{1}{a})^{x}$ con $a>1$ y $c≠0$.

Antecedentes

Recordemos que una expresión como $(\displaystyle \frac{1}{2})^{4}$, nos indica que hay que multiplicar el número de la base (en este caso $\displaystyle \frac{1}{2}$) tantas veces como indica el exponente (en este caso $4$).

$$\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2×2×2×2}=\frac{1}{2^{4}}$$

Las expresiones con exponentes negativos, como $(\displaystyle \frac{1}{2})^{-4}$, son equivalentes al inverso multiplicativo de la misma expresión con exponente positivo, por ejemplo $(\displaystyle \frac{1}{2})^{-4}=2^{4}$.

Procedimiento

Observa la siguiente tabla. En el primer renglón se muestra la operación que eleva la base (de la forma $\displaystyle \frac{1}{a}$) al exponente indicado, y en el segundo renglón se muestra el resultado de dicha operación. Modifica el valor del denominador de la base y observa cómo son los resultados:

Comparas este resultado con el obtenido al elevar una base mayor que $1$ en lugar de $\displaystyle \frac{1}{3}$.

Como $a^{x}·a^{-x}=a^{0}=1$, tienes que $a^{-x}=(\displaystyle \frac{1}{a})^{x}$, es decir que la gráfica de $(\displaystyle \frac{1}{a})^{x}$ es igual a la de $a^{-x}$. Pero la gráfica de $a^{-x}$ es igual que la de $a^{x}$ reflejada en el eje $Y$.

A continuación se muestra la gráfica de la función $f(x)=(\displaystyle \frac{1}{a})^{x}$, donde $a$ es el denominador de la base en la función exponencial. Modifica los valores de $a$ y observa cómo es la gráfica correspondiente.

Como puedes observar, la función toma valores entre $0$ y $1$ cuando la $x$ es positiva, y toma valores mayores que $1$ cuando la $x$ es negativa.

De lo anterior se deduce que el rango de la función son los reales mayores que $0$.

Ejercicios