Objetivo

Determinar dominio y rango de funciones exponenciales del tipo $f(x)=c(\frac{1}{a})^{x}$ con $a>1$ y $c≠0$.

Antecedentes

Recordemos que una expresión como $(\displaystyle \frac{1}{2})^{4}$, nos indica que hay que multiplicar el número de la base (en este caso $\displaystyle \frac{1}{2}$) tantas veces como indica el exponente (en este caso $4$).

Las expresiones con exponentes negativos, como $(\displaystyle \frac{1}{2})^{-4}$, son equivalentes al inverso multiplicativo de la misma expresión con exponente positivo, por ejemplo $(\displaystyle \frac{1}{2})^{-4}=2^{4}$.

Procedimiento

Observa la siguiente tabla. En el primer renglón se muestra la operación que eleva la base (de la forma $\displaystyle \frac{1}{a}$) al exponente indicado, y en el segundo renglón se muestra el resultado de dicha operación. Modifica el valor del denominador de la base y observa cómo son los resultados:

Comparas este resultado con el obtenido al elevar una base mayor que $1$ en lugar de $\displaystyle \frac{1}{3}$.

Como $a^{x}·a^{-x}=a^{0}=1$, tienes que $a^{-x}=(\displaystyle \frac{1}{a})^{x}$, es decir que la gráfica de $(\displaystyle \frac{1}{a})^{x}$ es igual a la de $a^{-x}$. Pero la gráfica de $a^{-x}$ es igual que la de $a^{x}$ reflejada en el eje $Y$.

A continuación se muestra la gráfica de la función $f(x)=(\displaystyle \frac{1}{a})^{x}$, donde $a$ es el denominador de la base en la función exponencial. Modifica los valores de $a$ y observa cómo es la gráfica correspondiente.

Como puedes observar, la función toma valores entre $0$ y $1$ cuando la $x$ es positiva, y toma valores mayores que $1$ cuando la $x$ es negativa.

De lo anterior se deduce que el rango de la función son los reales mayores que $0$.

Ejercicios

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Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

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Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Claudio Francisco Nebbia Rubio

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

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Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

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Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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