Objetivo

Determinar dominio y rango de funciones exponenciales del tipo $f(x)=ca^{x}$ con $a>1$ y $c≠0$.

Antecedentes

Recordemos que una expresión como $2^{4}$ nos indica que hay que multiplicar el número de la base, en este caso $2$, tantas veces como indica el exponente, en este caso $4$.

$$2^{4}=2×2×2×2$$

Las expresiones con exponentes negativos, como $2^{-4}$, son equivalentes al inverso multiplicativo de la misma expresión con exponente positivo, es decir $\displaystyle \frac{1}{2^{4}}$. Por último, hay que tener presente que $a^{\frac{1}{3}}$ es equivalente a $\sqrt[3]{a}$. En general $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}$.

Procedimiento

Con lo mencionado en los antecedentes, puedes deducir que el dominio de las funciones del tipo $f(x)=ca^{x}$ con $a>1$ incluye a todos los números enteros, y se extiende a todos los números racionales.

Aunque no es inmediato, es importante saber que el dominio de estas funciones incluye también a los números irracionales, por lo que su dominio es el conjunto de los números reales.

Analiza la siguiente tabla, en el primer renglón se muestra la operación que eleva la base al exponente indicado y en el segundo renglón aparece el resultado de dicha operación. Modifica el valor de la base y observa cómo son los resultados:

De la propiedad anterior se deduce que, si $p>0$, entonces $3^{p}$ es mayor que $3^{0}=1$. Como cualquier número mayor que uno, tiene su inverso multiplicativo entre cero y uno, y $3^{-p}$ es el inverso multiplicativo de $3^{p}$, entonces $3^{-p}$ está entre cero y uno.

¿Habrá algún valor $x$ tal que $3^{x}$ sea negativo?

A continuación se muestra la gráfica de la función $f(x)=ca^{x}$, donde $a$ es la base de la exponencial y $c$ es un coeficiente cualquiera. Modifica los valores de la base y del coeficiente mientras observas cómo es la gráfica correspondiente.

Si el coeficiente es positivo y la $x$ es negativa, la función toma valores entre cero y $c$.

Si el coeficiente es positivo y la $x$ es positiva, la función toma valores mayores que $c$.

De lo anterior se deduce que el rango de la función con $c$ son los reales mayores que cero.

De forma similar puedes concluir que, cuando el coeficiente es negativo, el rango de la función son los reales menores que cero. Para convencerte de ello, modifica los valores en la gráfica y observa qué sucede.

Ejercicios