Objetivo
Determinar el periodo en la función $f(x)=a·cos(bx+c)+d$.
Procedimiento
El periodo de la función $f(x)=a·cos(bx+c)+d$ sólo depende del valor de $b$. Utiliza el siguiente recuadro interactivo y observa que al cambiar los valores de $a$, $c$ ó $d$, el periodo de la función no cambia siempre y cuando el valor de $b$ permanezca fijo. Para cambiar el valor de $b$ pulsa el botón Otro ejemplo.
Solución
Recuerda que para una función periódica $f$ de periodo $p$ se tiene que $f(x)=f(x+p)$ para todo valor de $x$. Si multiplicas ambos lados de la igualdad por algún número $a$ y les sumas otro número $d$, obtienes $a·f(x)+d=a·f(x+p)+d$ que sigue siendo periódica y del mismo periodo $p$. De manera que la función $f(x)=a·cos(bx+c)+d$ tiene el mismo periodo que la función $g(x)=cos(bx+c)$.
Por otro lado, al ser $f$ periódica con periodo $p$, $f(u)=f(u+p)$ para cualquier valor de $u$. Tomando $u=x+c$ donde $c$ es una constante, tenemos que la función $g(x)=f(x+c)$ también es periódica y con $p$ como periodo. Así, la función $f(x)=a·cos(bx+c)+d$ tiene el mismo periodo que $f(x)=cos(bx)$.
Ya que $h(x)=bx$ es lineal, se obtiene el periodo de $f(x)=cos(bx)$ tomando el valor absoluto de la diferencia entre los valores de $x$ que, al aplicarles $h$, dan como resultado $0$ y $2π$, es decir $x=0$ y $x=\displaystyle \frac{2π}{b}$. Así, el periodo de la función $f(x)=a·cos(bx+c)+d$ es $|\displaystyle \frac{2π}{b}-0|=\displaystyle \frac{2π}{|b|}$.
Para que puedas variar el valor de $b$ en la escena anterior regresa al recuadro y pulsa el botón Otro ejemplo .
Ejercicios
Encuentra el periodo de las siguientes funciones.
Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, corrigiendo el nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.
Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor: Fernando René Martínez Ortiz
Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Joel Espinosa Longi
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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