Objetivo

Determinar el periodo en la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$.

Procedimiento

El periodo de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ sólo depende del valor de $b$. Utiliza el siguiente recuadro interactivo y observa que al cambiar los valores de $a$, $c$ o $d$, el periodo de la función no cambia siempre y cuando el valor de $b$ permanezca fijo. Para cambiar el valor de $b$ pulsa el botón Otro ejemplo.

Solución

Recuerda que para una función periódica $f$ de periodo $p$ se tiene que $f(x)=f(x+p)$ para todo valor de $x$. Si multiplicas ambos lados de la igualdad por algún número $a$ y les sumas otro número $d$, obtienes $a·f(x)+d=a·f(x+p)+d$ que sigue siendo periódica y del mismo periodo $p$. De manera que la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ tiene el mismo periodo que la función $g(x)=sen(bx+c)$.

Por otro lado, al ser $f$ periódica con periodo $p$, $f(u)=f(u+p)$ para cualquier valor de $u$. Tomando $u=x+c$ donde $c$ es una constante, tenemos que la función $g(x)=f(x+c)$ también es periódica y con $p$ como periodo. Así, la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ tiene el mismo periodo que $f(x)=sen(bx)$.

Ya que $h(x)=bx$ es lineal, se obtiene el periodo de $f(x)=sen(bx)$ tomando el valor absoluto de la diferencia entre los valores de $x$ que, al aplicarles $h$, dan como resultado $0$ y $2π$, es decir $x=0$ y $x=\displaystyle \frac{2π}{b}$. Así, el periodo de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ es $|\displaystyle \frac{2π}{b}-0|=\displaystyle \frac{2π}{|b|}$.

Para que puedas variar el valor de $b$ en el recuadro interactivo anterior regresa al recuadro y oprime el botón Otro ejemplo.

Ejercicios

Encuentra el periodo de las siguientes funciones.