Funciones trigonométricas
Amplitud de la función f(x)=asen(bx+c)+df(x)=a sen(bx+c)+d

Objetivo

Determinar la amplitud en la función f(x)=asen(bx+c)+df(x)=a·sen(bx+c)+d.

Procedimiento

En este tipo de funciones, la amplitud sólo depende, en este caso, del valor de a ya que 1sen(x)1-1≤sen(x)≤1 para cualquier valor de xx, así tenemos que 1sen(bx+c)1-1≤sen(bx+c)≤1 donde siempre es posible alcanzar los valores máximo y mínimo, 11 y 1-1. Si a0a≥0 entonces, al multiplicar la desigualdad anterior por aa y sumar dd, se tiene que

a+dasen(bx+c)+da+d-a+d≤a·sen(bx+c)+d≤a+d

y la amplitud AA es la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función, es decir:

A=(a+d)(a+d)2=2a2=aA=\frac{(a+d)-(-a+d)}{2}=\frac{2a}{2}=a

En el caso en que a<0a < 0, al multiplicar la desigualdad 1sen(bx+c)1-1≤sen(bx+c)≤1 por aa y sumar dd, se tiene:

a+dasen(bx+c)+da+d-a+d≥a·sen(bx+c)+d≥a+d

Nuevamente, al tomar la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función se obtiene que:

A=(a+d)(a+d)2=2a2=aA=\frac{(-a+d)-(a+d)}{2}=\frac{-2a}{2}=-a

Se pueden conjuntar ambos casos en una sola fórmula usando el valor absoluto, de tal manera que la amplitud A de la función f(x)=asen(bx+c)+df(x)=a·sen(bx+c)+d es:

A=aA=|a|

Solución

En el siguiente recuadro interactivo aparecen las gráficas de diversas funciones del tipo:

f(x)=asen(bx+c)+df(x)=a·sen(bx+c)+d

En éstas puedes cambiar los valores de bb, cc y dd mientras que el valor de a permanecerá fijo a menos que oprimas el botón Otro ejemplo. Con el valor de aa fijo, observa que todas las funciones que puedes generar tienen siempre la misma amplitud a|a|.

Para que puedas variar el valor de aa en el recuadro interactivo anterior oprime el botón Otro ejemplo

Ejercicios

Encuentra la amplitud de las siguientes funciones.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, corrigiendo el nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Fernando René Martínez Ortiz

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

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Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

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Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

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