Objetivo

Identificar la gráfica de la función $f(x)=tan(x)$ en el intervalo $[-2π, 2π]$.

Procedimiento

Como $tan(x)=\displaystyle \frac{sen(x)}{cos(x)}$, entonces la función $f(x)=tan(x)$ no está definida para aquellos valores de $x$ en los cuales $cos(x)=0$, es decir, no está definida en los valores $\displaystyle -\frac{3π}{2}$, $\displaystyle -\frac{π}{2}$, $\displaystyle \frac{π}{2}$ y $\displaystyle \frac{3π}{2}$. De hecho, tiene asíntotas verticales en estos puntos, pues $sen(x)≠0$ en todos ellos.

Por otro lado, así como $sen(x)$ y $cos(x)$ tienen una interpretación geométrica cuando se considera el círculo unitario, se puede dar una interpretación tal a $tan(x)$. Llama $P$ al punto de coordenadas $(t,y)$ y supón que dicho punto se encuentra en el cuadrante $I$ o en el $IV$. Este punto $P$ forma (junto con la parte positiva del eje $X$) un ángulo de medida $x$. De aquí se tiene que $cos(x)=t$ y $sen(x)=y$.

Traza la recta tangente en el punto $S(1,0)$ a la circunferencia unitaria y prolonga el segmento de recta que va del origen $O$ al punto $P$ hasta que intersecte a dicha tangente en el punto $Q(1,u)$. Entonces, ya que los triángulos $OPR$ y $OQS$ son semejantes (donde $R$ es el punto con coordenadas $(t,0)$), se tiene que:

$$tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}=\frac{y}{t}=\frac{u}{1}=u$$

de manera que $tan(x)$ es exactamente la ordenada $u$ del punto $Q$. Mueve el control gráfico $P$ con el ratón en el siguiente recuadro interactivo.

Si el punto $(t,y)$ se encuentra en el cuadrante $II$, el triángulo $OPR$ sería congruente con el triángulo $OP'R'$, donde $P'$ y $R'$ tienen coordenadas $(-t,-y)$ y $(-t,0)$, respectivamente. Nota que $P'$ se encuentra en el cuadrante $IV$ y $tan(x)$ tiene el mismo signo en estos dos cuadrantes. Por lo tanto, la tangente del ángulo determinado por $P$ es igual a la tangente del ángulo determinado por $P'$.

De la misma manera la tangente de un ángulo determinado por un punto $P(t,y)$ en el cuadrante $III$ es igual a la tangente del ángulo determinado por $P'(-t,-y)$, punto que esta en el cuadrante $I$. Pulsa el botón y regresa a mover el control gráfico en el recuadro interactivo anterior.

Para realizar la gráfica de la función $f(x)=tan(x)$ los valores en el eje $X$ representarán el ángulo $x$ en radianes. En el siguiente recuadro animado, se representan dos copias del plano cartesiano. En la copia de la izquierda aparece el círculo unitario y un ángulo de medida $x$ que irá cambiando conforme trascurre la animación, dicho ángulo determinará un punto $(1,u)$, también móvil, sobre la recta tangente en $(1,0)$ al círculo unitario cuya ordenada $u$ es el valor de $tan(x)$. En la copia de la derecha aparece la gráfica de $f(x)=tan(x)$. Para ángulos negativos, el arco aparecerá en rojo.

Nota que en los valores de $x$ correspondientes a $\displaystyle -\frac{3π}{2}$, $\displaystyle -\frac{π}{2}$, $\displaystyle \frac{π}{2}$ y $\displaystyle \frac{3π}{2}$ hay líneas verticales discontínuas que muestran las asíntotas.

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo aparecen (todas en el mismo intervalo de valores de $x$) cuatro gráficas. Reconoce cuál es la que corresponde a la función $f(x)=tan(x)$.