Funciones trigonométricas
Gráfica de la función tangente

Objetivo

Identificar la gráfica de la función $f(x)=tan(x)$ en el intervalo $[-2π, 2π]$.

Procedimiento

Como $tan(x)=\displaystyle \frac{sen(x)}{cos(x)}$, entonces la función $f(x)=tan(x)$ no está definida para aquellos valores de $x$ en los cuales $cos(x)=0$, es decir, no está definida en los valores $\displaystyle -\frac{3π}{2}$, $\displaystyle -\frac{π}{2}$, $\displaystyle \frac{π}{2}$ y $\displaystyle \frac{3π}{2}$. De hecho, tiene asíntotas verticales en estos puntos, pues $sen(x)≠0$ en todos ellos.

Por otro lado, así como $sen(x)$ y $cos(x)$ tienen una interpretación geométrica cuando se considera el círculo unitario, se puede dar una interpretación tal a $tan(x)$. Llama $P$ al punto de coordenadas $(t,y)$ y supón que dicho punto se encuentra en el cuadrante $I$ o en el $IV$. Este punto $P$ forma (junto con la parte positiva del eje $X$) un ángulo de medida $x$. De aquí se tiene que $cos(x)=t$ y $sen(x)=y$.

Traza la recta tangente en el punto $S(1,0)$ a la circunferencia unitaria y prolonga el segmento de recta que va del origen $O$ al punto $P$ hasta que intersecte a dicha tangente en el punto $Q(1,u)$. Entonces, ya que los triángulos $OPR$ y $OQS$ son semejantes (donde $R$ es el punto con coordenadas $(t,0)$), se tiene que:

$$tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}=\frac{y}{t}=\frac{u}{1}=u$$

de manera que $tan(x)$ es exactamente la ordenada $u$ del punto $Q$. Mueve el control gráfico $P$ con el ratón en el siguiente recuadro interactivo.

Si el punto $(t,y)$ se encuentra en el cuadrante $II$, el triángulo $OPR$ sería congruente con el triángulo $OP'R'$, donde $P'$ y $R'$ tienen coordenadas $(-t,-y)$ y $(-t,0)$, respectivamente. Nota que $P'$ se encuentra en el cuadrante $IV$ y $tan(x)$ tiene el mismo signo en estos dos cuadrantes. Por lo tanto, la tangente del ángulo determinado por $P$ es igual a la tangente del ángulo determinado por $P'$.

De la misma manera la tangente de un ángulo determinado por un punto $P(t,y)$ en el cuadrante $III$ es igual a la tangente del ángulo determinado por $P'(-t,-y)$, punto que esta en el cuadrante $I$. Pulsa el botón y regresa a mover el control gráfico en el recuadro interactivo anterior.

Para realizar la gráfica de la función $f(x)=tan(x)$ los valores en el eje $X$ representarán el ángulo $x$ en radianes. En el siguiente recuadro animado, se representan dos copias del plano cartesiano. En la copia de la izquierda aparece el círculo unitario y un ángulo de medida $x$ que irá cambiando conforme trascurre la animación, dicho ángulo determinará un punto $(1,u)$, también móvil, sobre la recta tangente en $(1,0)$ al círculo unitario cuya ordenada $u$ es el valor de $tan(x)$. En la copia de la derecha aparece la gráfica de $f(x)=tan(x)$. Para ángulos negativos, el arco aparecerá en rojo.

Nota que en los valores de $x$ correspondientes a $\displaystyle -\frac{3π}{2}$, $\displaystyle -\frac{π}{2}$, $\displaystyle \frac{π}{2}$ y $\displaystyle \frac{3π}{2}$ hay líneas verticales discontínuas que muestran las asíntotas.

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo aparecen (todas en el mismo intervalo de valores de $x$) cuatro gráficas. Reconoce cuál es la que corresponde a la función $f(x)=tan(x)$.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, corrigiendo el nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Fernando René Martínez Ortiz

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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