Objetivo

Determinar los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.

Procedimiento

Con apoyo del plano cartesiano se puede dar una definición de seno, coseno y tangente. Para ello, es necesario valerse del círculo unitario y de una circunferencia de radio $1$ centrada en el origen de coordenadas, como se muestra en la gráfica. Determinaremos un punto $P$ sobre el círculo unitario de la siguiente manera. Trazamos un angulo $α$, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, con vértice en el origen y en el que uno de sus lados es la parte positiva del eje $X$. El punto $P$ de coordenadas $(x,y)$ es la intersección del segundo lado del ángulo con el círculo unitario.

Las funciones trigonométricas pueden entonces definirse como: $sen(α)=y$ y $cos(α)=x$

En el caso de ángulos positivos agudos, esta definición coincide con la original, pues al trazar una perpendicular al eje $X$ desde el punto $P(x,y)$, se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$, ya que el círculo es unitario, de manera que las funciones trigonométricas seno y coseno son:

$$sen\;α=\frac{cateto\;opuesto}{hipotenusa}=\frac{y}{1}=y$$ $$cos\;α=\frac{cateto\;adyacente}{hipotenusa}=\frac{x}{1}=x$$

Esta definición es más útil porque permite considerar ángulos de más de $90^{\circ}$ y también ángulos negativos, cuando se gira el punto $P(x,y)$ en el sentido de las manecillas del reloj desde el punto $(1,0)$.

En el siguiente recuadro interactivo, pulsa el botón Animar para comprobar que los valores de coseno y seno del ángulo dado son precisamente las coordenadas $x$ y $y$, respectivamente, del punto $P$ de intersección del círculo unitario con el lado final que determina el ángulo, considerando siempre como el lado inicial al segmento que va del origen al punto $(1,0)$. Oprime de nuevo el botón Animar para detener la generación de ángulos en el círculo unitario. Observa que si se da más de una vuelta al círculo unitario en sentido contrario a las manecillas del reloj, se pueden considerar ángulos mayores a $360^{\circ}$ y que, cuando los giros alrededor del círculo unitario se dan en el sentido de las manecillas del reloj, se pueden tener incluso ángulos negativos.

Además, observa que el plano cartesiano se encuentra dividido por los ejes de coordenadas en cuatro cuadrantes, marcados con números romanos, y que, cuando el segmento final del ángulo cruza de un cuadrante al siguiente, alguna de las razones trigonométricas cambia de signo, positivo a negativo o viceversa. Es importante determinar entonces el signo de cada función trigonométrica en cada uno de los cuatro cuadrantes.

Solución

Considera un punto $P(x,y)$ sobre el círculo unitario que determina un ángulo $α$. Como $cos(α)=x$, entonces $cos(α)$ es positivo siempre y cuando $x>0$, es decir, cuando $P(x,y)$ esté en los cuadrantes $I$ y $IV$, y es negativo cuando $x < 0$, es decir, si $P(x,y)$ se localiza en los cuadrantes $II$ y $III$.

De manera similar, dado que $sen(α)=y$, se puede ver que $sen(α)$ es positivo cuando $y>0$, esto es si $P(x,y)$ se encuentra en los cuadrantes $I$ y $II$, y es negativo si $P(x,y)$ se halla en los cuadrantes $III$ y $IV$.

Finalmente, como:

$$tan(α)=\frac{sen(α)}{cos(α)}$$

entonces por la regla de los signos, $tan(α)$ será positiva cuando $cos(α)$ y $sen(α)$ tengan el mismo signo, es decir, si $P(x,y)$ se localiza en los cuadrantes $I$ y $III$, y $tan(α)$ será negativa cuando $cos(α)$ y $sen(α)$ tengan signos contrarios, es decir, si $P(x,y)$ se ubica en los cuadrantes $II$ y $IV$.

Por otro lado, las funciones trigonométricas recíprocas:

$$sec(α)=\frac{1}{cos(α)}$$ $$csc(α)=\frac{1}{sen(α)}$$ $$cot(α)=\frac{1}{tan(α)}$$

tienen, en cada cuadrante, el mismo signo que su correspondiente recíproca, así $sec(α)$ es positiva si $P(x,y)$ está en los cuadrantes $I$ y $IV$; $csc(α)$ es positiva cuando $P(x,y)$ se localice en los cuadrantes $I$ y $II$; y $cot(α)$, al ubicarse $P(x,y)$ en los cuadrantes $I$ y $III$.

Ejercicios

¿Cuál es el signo de la función trigonométrica que se proporciona en el cuadrante sombreado?