Objetivo

Resolver triángulos oblicuángulos aplicando la ley de senos.

Procedimiento

Un triángulo oblicuángulo es aquél en el cual ninguno de sus ángulos es recto. Hay dos posibles tipos de triángulos oblicuángulos, aquellos que tienen sus tres ángulos agudos y los que tienen un ángulo obtuso.

En un triángulo oblicuángulo no se puede aplicar la trigonometría de manera directa pues ésta se formuló sobre la base de tener un triángulo rectángulo. Sin embargo, la ley de senos te permitirá resolver triángulos aún siendo oblicuángulos.

Para encontrar la ley de senos considera primero un triángulo $ABC$ que tenga todos sus ángulos agudos. Traza la altura del triángulo desde el vértice $C$ de longitud $h$, es decir, el segmento de recta perpendicular a la recta determinada por $A$ y $B$, que pasa por $C$. Hecho esto, se han formado dos triángulos rectángulos de hipotenusas $b=|AC|$ y $a=|BC|$ , como se muestra en el siguiente recuadro, en los que se pueden aplicar los principios de trigonometría revisados hasta ahora.

Ya que $sen(α)=\frac{h}{b}$ y $sen(β)=\frac{h}{a}$, podemos despejar $h$ de ambas ecuaciones:

$$b·sen(α)=h$$ $$a·sen(β)=h$$

e igualar los resultados

$$b·sen(α)=a·sen(β)$$

Finalmente, al dividir ambos miembros de la última igualdad entre $ab$, se obtiene:

$$\frac{sen(α)}{a}=\frac{sen(β)}{b}$$

Si se llama $γ$ al tercer ángulo del triángulo y $c$ al lado opuesto a dicho ángulo, el mismo argumento es válido al intercambiar los papeles de $α$ y $γ$, lo que da la ley de senos:

$$\frac{sen(α)}{a}=\frac{sen(β)}{b}=\frac{sen(γ)}{c}$$

ó, lo que es lo mismo

$$\frac{a}{sen(α)}=\frac{b}{sen(β)}=\frac{c}{sen(γ)}$$

En el caso de un triángulo con un ángulo obtuso $α$, aplica la misma construcción con la salvedad de que no es claro hasta ahora qué significa el seno de un ángulo obtuso. En este caso, el ángulo de medida $α'=180-α$ es agudo y se define $sen(α)=sen(α')$. Al presionar el botón Ver obtusángulo en la escena anterior podrás ver el significado geométrico de $α'$ y la construcción que lleva a la ley de senos en el caso de un triángulo con un ángulo obtuso.

Solución

Para resolver un triángulo oblicuángulo mediante la ley de senos es necesario tener como datos ya sea dos ángulos y un lado ($AAL$) o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos ($LLA$). Oprime el botón del caso que te interesa aprender:

Ejercicios

Resuelve los siguientes triángulos usando la ley de senos. Oprime el botón con el tipo de ejercicio que quieres practicar.