Objetivo

Identificar las identidades trigonométricas pitagóricas:

$$sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1, \thinspace sec^{2}(x)=1+tan^{2}(x)$$

Procedimiento

Dos hechos fundamentales en trigonometría son, primero, que podemos cambiar el tamaño del triángulo rectángulo y las razones trigonométricas no varían (siempre y cuando el ángulo tampoco varíe) y segundo, que en un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$, el cateto opuesto a un ángulo $α$ tiene longitud igual a $sen(α)$ mientras que la del cateto adyacente es igual a $cos(α)$.

Usa el siguiente recuadro interactivo para recordar y asimilar estos dos puntos importantes. Arrastra el control gráfico (punto verde) con el ratón hasta obtener una hipotenusa de tamaño $1$.

Considera un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud $1$ y en el que el cateto opuesto a un ángulo agudo $α$ es $a$ y el cateto adyacente a ese mismo ángulo es $b$, como se muestra en el recuadro de abajo.

Con estas condiciones, se tienen las siguientes igualdades:

$$sen(α)=a$$

y

$$cos(α)=b$$

Ya que, además, en este triángulo rectángulo se puede aplicar el teorema de Pitágoras, la ecuación:

$$a^{2}+b^{2}=1^{2}$$

se convierte, luego de hacer las sustituciones correspondientes, en la identidad trigonométrica pitagórica

$$sen^{2}(α)+cos^{2}(α)=1$$

Con objeto de obtener la segunda identidad trigonométrica pitagórica, se dividen ambos lados de la ecuación anterior entre $cos^{2}(α)$:

$$\frac{sen^{2}(α)+cos^{2}(α)}{cos^{2}(α)}=\frac{1}{cos^{2}(α)}$$

lo cual es equivalente a la ecuación

$$\Big(\frac{sen(α)}{cos(α)}\Big)^{2}+\Big(\frac{cos(α)}{cos(α)}\Big)^{2}=\Big(\frac{1}{cos(α)}\Big)^{2}$$

Sin embargo, haciendo las siguientes sustituciones en la ecuación anterior: $tan(α)=\frac{sen(α)}{cos(α)}$ (identidad trigonométrica de cociente), $1=\frac{cos(α)}{cos(α)}$ y, además, $sec(α)=\frac{1}{cos(α)}$ (identidad trigonométrica recíproca), se obtiene la identidad:

$$tan^{2}(α)+1=sec^{2}(α)$$

Ejercicios

Usa las importantes identidades trigonométricas pitagóricas

para descubrir a cuál de los enunciados equivale la expresión dada.