Objetivo

Identificar las identidades trigonométricas de cociente: $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$, $cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$

Procedimiento

Considera un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud $1$ y en el que el cateto opuesto a un ángulo agudo $α$ es $a$ y el cateto adyacente a ese mismo ángulo es $b$, como se muestra en el recuadro abajo.

Por la definición de las razones trigonométricas de seno y coseno, se tiene que:

$$sen(α)=\frac{a}{1}$$ $$cos(α)=\frac{b}{1}$$

Al despejar $a$ de la primera ecuación y $b$ de la segunda, se obtiene:

$$1\cdot sen(α)=a$$ $$1\cdot cos(α)=b$$

o, lo que es lo mismo:

$$a=sen(α)$$ $$b=cos(α)$$

Si se calcula la tangente del ángulo $α$ en este triángulo, se tiene

$$tan(α)=\frac{a}{b}=\frac{sen(α)}{cos(α)}$$

Además, podemos obtener una expresión análoga para la cotangente de $α$.

$$cot(α)=\frac{b}{a}=\frac{cos(α)}{sen(α)}$$

De manera que se tienen ya las dos identidades trigonométricas de cociente

En el siguiente recuadro interactivo puedes observar que las razones trigonométricas no dependen del tamaño del triángulo considerado sino sólo de su forma, por lo que utilizar un triángulo de hipotenusa de longitud $1$ significa utilizar un triángulo semejante más sencillo y la razón entre lados correspondientes se mantiene. Por otro lado, también puedes verificar que cuando la hipotenusa del triángulo mide $1$, el cateto opuesto a $α$ mide exactamente el valor de $sen(α)$ y el cateto adyacente, el de $cos(α)$. Mueve el control gráfico (punto verde) con el ratón hasta que la longitud de la hipotenusa sea igual a $1$.

Ejercicios

Usa las identidades de cociente:

$$tan(α)=\frac{sen(α)}{cos(α)}$$

y

$$cot(α)=\frac{cos(α)}{sen(α)}$$

para descubrir a cuál de los enunciados equivale la expresión dada.