Identidades trigonométricas fundamentales
Identidades recíprocas

Objetivo

Identificar las identidades trigonométricas recíprocas:
$$csc\;x=\frac{1}{sen\;x}, \thinspace sec\;x=\frac{1}{cos\;x}, \thinspace cot\;x =\frac{1}{tan\;x}$$.

Procedimiento

El recíproco de un número $x≠0$ es igual a $\frac{1}{x}$, es decir, es aquel número que multiplicado por el número original da como resultado $1$. En el siguiente recuadro interactivo podrás comparar los recíprocos de las razones trigonométricas de un ángulo agudo con los valores de estas últimas.

A partir de estos ejemplos debes de saber que:

$$\frac{1}{sen(α)}=csc(α)$$ $$\frac{1}{cos(α)}=sec(α)$$ $$\frac{1}{tan(α)}=cot(α)$$

De hecho, con el siguiente argumento puedes verificar que estas identidades son ciertas. Considera el siguiente triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas se definen como

Observa que:

$$\frac{1}{sen(α)}=\frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{1×c}{b}=\frac{c}{b}=csc(α)$$

Es decir, se puede transformar el recíproco del seno de $α$ en la cosecante del mismo ángulo a través de igualdades, lo cual demuestra que la identidad es cierta.

$$\frac{1}{sen(α)}=csc(α)$$

De la misma forma

$$\frac{1}{cos(α)}=\frac{1}{\frac{a}{c}}=\frac{1×c}{a}=\frac{c}{a}=sec(α)$$

y

$$\frac{1}{tan(α)}=\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{1×a}{b}=\frac{a}{b}=cot(α)$$

demuestran las importantes identidades:

$$\frac{1}{cos(α)}=sec(α)$$ $$\frac{1}{tan(α)}=cot(α)$$

Ejercicios

  1. En tu cuaderno encuentra los recíprocos de secante, cosecante y cotangente de un ángulo.
  2. Usa las identidades anteriores para descubrir a cuál de los incisos es igual la expresión dada.

Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en enero de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.


Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Fernando René Martínez Ortiz

Edición académica: José Luis Abreu León Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.

Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.