Objetivo

Determinar la medida de un ángulo o la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, conociendo la longitud de dos de sus lados, usando razones trigonométricas.

Procedimiento

Cuando se conocen dos de los lados de un triángulo rectángulo, se puede determinar el valor de alguna de las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo. Por ejemplo, si se tiene el cateto adyacente al ángulo $α$ y la hipotenusa, se puede obtener el valor de $cos(α)$.

Una vez que se tiene el valor de alguna de las razones trigonométricas tienes que encontrar la medida del ángulo $α$. Para ello es necesario contar con una calculadora científica o utilizar una tabla trigonométrica. En una calculadora científica debes oprimir la tecla que calcula el arco coseno, que normalmente aparece como $cos^{-1}$, del valor obtenido de $cos(α)$ para obtener el valor del ángulo $α$. Usualmente coseno y arco coseno, $cos^{-1}$, comparten la misma tecla y para aplicar arco coseno es necesario presionar previamente la tecla que tiene el mismo color que el texto $cos^{-1}$ en la calculadora. Como un ejemplo, en algunas calculadoras aparecen las siguientes teclas:

La tecla $2^{nd}F$ hace que en lugar de calcular el seno del valor introducido se calcule el arco seno, $sen^{-1}$.

Cuando desees obtener el seno de $45^{\circ}$, basta con oprimas la tecla $sen$ y luego escribas el ángulo (entre paréntesís o no según la calculadora utilizada). El ángulo se escribe en grados o en radianes según que la calculadora esté configurada en DEG o RAD. La calculadora que se proporciona en la escena está configurada en radianes. Cada calculadora es diferente y debes investigar cómo funciona la tuya. Sin embargo, si lo que tienes es el valor del seno de un ángulo, digamos $0.5$, y deseas saber de qué ángulo proviene ese valor de seno, debes obtener el arco seno, $sen^{-1}$, de dicho valor. Para ello oprime la tecla $2^{nd}F$ y la tecla $sen$, finalmente escribe el valor $0.5$. Con esto obtendrás como respuesta el ángulo de $30^{\circ}$ en DEG o $0.5235998776$ en RAD.

Solución

Es muy importante saber cuál de las tres opciones ($arcsen$, $arccos$ o $arctan$) se debe aplicar en una situación particular. En el siguiente recuadro interactivo podrás practicar este punto. Utiliza la calculadora para comprobar los resultados.

Una vez que has encontrado el valor de alguno de los ángulos agudos con el procedimiento descrito previamente, puedes encontrar el valor del lado desconocido fácilmente. Supón que tienes un triángulo cuya hipotenusa mide $20$ y que el cateto adyacente al ángulo $α$ mide $10$. Al aplicar arco coseno a $\frac{10}{20}$ se obtiene un ángulo $α=60^{\circ}$. Para obtener el lado desconocido, cateto opuesto, sólo necesitas aplicar al ángulo de $60^{\circ}$ cualquiera de las razones trigonométricas que relacionen este lado con alguno de los lados conocidos, seno o tangente sirven en este caso. Así, obtienes la ecuación:

$$sen(60^{o})=\frac{x}{20}$$

Si se encuentra el seno de $60^{\circ}$ usando una calculadora y se sustituye el valor obtenido en la anterior ecuación se tiene:

$$0.8660=\frac{x}{20}$$

Al despejar $x$ de esta última ecuación se obtiene el valor del cateto opuesto:

$$x=(20)(0.8660)=17.32$$

Ejercicios

En el recuadro interactivo que se presenta a continuación, debes encontrar el valor del ángulo $α$ y la longitud del lado desconocido $x$ del triángulo rectángulo dado.

Recuerda las siguientes equivalencias: $1^{\circ}=\frac{\pi}{180} rad$ y $1 rad = (\frac{180}{\pi})^{\circ}$