Objetivo
Obtener los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de $30^{\circ}$, $45^{\circ}$ y $60^{\circ}$ aplicando las razones trigonométricas directas referidas a un ángulo agudo.
Procedimiento
Los ángulos de $45^{\circ}$ y $60^{\circ}$ son especiales porque están relacionados con dos triángulos muy importantes en geometría, a saber, los triángulos isósceles rectángulos y los triángulos equiláteros, respectivamente.
Un triángulo es equilátero si sus tres lados tienen la misma medida. Debido a esto, sus tres ángulos deben tener la misma medida angular y como la suma de los ángulos internos en un triángulo debe ser igual a $180^{\circ}$, cada ángulo de un triángulo equilátero debe medir $60^{\circ}$.
Un triángulo isósceles es aquel que tiene dos de sus lados iguales en magnitud. Para tal triángulo los ángulos opuestos a los lados iguales también deben tener la misma medida angular. Por otro lado, si el triángulo además de ser isósceles es rectángulo, como la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de los catetos, son los catetos los que deben tener la misma magnitud y, por lo tanto, los ángulos agudos deben medir lo mismo. Finalmente, en todo triángulo la suma de los ángulos internos es siempre $180^{\circ}$; como en un triángulo isósceles rectángulo uno de los ángulos es de $90^{\circ}$ y los ángulos agudos miden lo mismo, es forzoso que ambos ángulos agudos midan $45^{\circ}$. Observa todos estos hechos en el siguiente recuadro interactivo.
Solución
Las razones trigonométricas para el ángulo $α=60^{\circ}$ se pueden obtener utilizando el teorema de Pitágoras y el hecho de que dicho ángulo aparece de manera natural en los triángulos equiláteros. Supón que se tiene un triángulo equilátero cuyos tres lados miden $1$. Al trazar la altura de dicho triángulo desde alguno de sus vértices se forman dos triángulos rectángulos congruentes (de la misma forma y el mismo tamaño). Fíjate en sólo uno de estos triángulos: la hipotenusa mide $1$ y uno de sus catetos mide $\frac{1}{2}$ (pues es la mitad de uno de los lados del triángulo equilátero), basta ahora aplicar el teorema de Pitágoras para obtener la medida del otro lado y asi obtener las razones trigonométricas para el ángulo $α=60^{\circ}$.
En el siguiente recuadro interactivo observa paso a paso la obtención de las razones trigonométicas para el ángulo de $60^{\circ}$. Nota además que de inmediato se obtienen también las razones trigonométicas para el ángulo de $30^{\circ}$.
Para un ángulo de $45^{\circ}$ también se puede usar el teorema de Pitágoras junto con la propiedad geométrica de que un triángulo rectángulo con un ángulo de $45^{\circ}$ debe ser isósceles. Al utilizar un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$, tenemos:
Ejercicios
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Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
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Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi
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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
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Actualización: Joel Espinosa Longi
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