Objetivo

Determinar analíticamente el rango de una función del tipo:

$f(x)=±\sqrt{ax+b}\space$ o $\space f(x)=±\sqrt{ax^{2}+bx+c}$

Procedimiento

Identificar el signo del coeficiente del radical:

1. Si es positivo, el rango contiene valores mayores o iguales que cero.
2. Si es negativo, el rango contiene valores menores o iguales que cero.

La gráfica de la función puede ser: la mitad de una parábola, la mitad de una elipse o la mitad de una hipérbola.

Solución

Para determinar analíticamente el rango de una función radical, se despeja $x$ de la expresión y se determinan los valores de $y$ que dan como resultado valores reales para $x$.

• Las mitades de parábolas, que corresponden a las funciones con el interior del radical lineal, tienen rangos de intervalos semicerrados.
• Las mitades de hipérbolas, que corresponden a las funciones con el interior del radical cuadrático en las que el coeficiente de $x^{2}$ es positivo, también tienen rangos de intervalos semicerrados.

En ambos casos, cualquier valor de $y$ da como resultado un valor real para $x$. Si el signo del coeficiente del radical es positivo el rango es $[0,∞)$, si es negativo el rango es $(-∞,0]$.

• Las mitades de elipses, que corresponden a las funciones con el interior del radical cuadrático en las que el coeficiente de $x^{2} $ es negativo, tienen rangos de intervalos cerrados.

Como son mitades de elipses verticales o circunferencias, un extremo corresponde a la longitud del semieje mayor o radio, respectivamente. El otro extremo del intervalo es cero. Si el signo del coeficiente del radical es positivo, el rango es:

$$y ∈ [0, \sqrt{c-\frac{b^{2}}{4a}}]$$

mientras que si es negativo, el rango es:

$$y∈[-\sqrt{c-\frac{b^{2}}{4a}},0]$$

Ejemplo

A continuación se determina el rango de las diferentes funciones radicales descritas arriba.

Ejercicio

Indica el rango de la función.