Objetivo

Determinar si una función $f(x)=\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ es simétrica respecto al eje $X$, respecto al eje $Y$ o respecto al origen. $P(x)$ y $Q(x)$ deben ser lineales o cuadráticas.

Introducción

Simetría axial. Una figura plana tiene simetría respecto a un eje, si al reflejarse en ese eje se obtiene la misma figura.

Simetría central. Una figura plana tiene simetría respecto a un punto $O$ si, para cada punto $P$ en la figura, existe otro punto $P'$ a la misma distancia de $O$ y alineado con $O$ y $P$, donde $P'$ también está en la figura.

En el siguiente recuadro se observa un ejemplo de simetría axial, izquierda, y uno de simetría central, derecha. Desplaza el punto rojo para mover el punto $P$.

Definición

Una función es simétrica respecto al eje $Y$, también llamada función par, si su gráfica es simétrica con respecto a dicho eje. Es decir, si para cada valor de $x$ se tiene que $f(x)=f(-x)$.

Una función es simétrica respecto al origen $(0,0)$, si para cada valor $x$ se tiene que $f(-x)=-f(x)$.

Notemos que una función, no idénticamente cero, jamás podrá ser simétrica respecto al eje $X$ pues, por definición, a un mismo valor de $x$ no le pueden corresponder dos valores en el eje $Y$. La función idénticamente cero es la única simétrica con respecto al eje $X$, pues el simétrico del punto $(x,0)$ sería el mismo punto.

Procedimiento

Para determinar si $f(x)$ es o no simétrica respecto al eje $Y$ se sigue el siguiente procedimiento:

Sustituir $x$ por $-x$ en $f(x)$, lo cual resulta en la expresión algebraica: $f(-x)$.
Si $f(x)=f(-x)$ para toda $x$, entonces $f$ es simétrica respecto al eje $Y$.
Si no sucede así, entonces no es simétrica respecto al eje $Y$.

Para ver si una función es simétrica con respecto al origen se sigue el siguiente procedimiento:

Sustituir $x$ por $-x$ en $f(x)$, lo cual resulta en la expresión algebraica: $f(-x)$.
Si $f(x)=-f(-x)$ para toda $x$, entonces $f$ es simétrica respecto al origen.
Si no sucede así, entonces no es simétrica respecto al origen.

Utiliza el siguiente cuadro interactivo para repasar el procedimiento:

Ejercicios

Utiliza los procedimientos descritos anteriormente para determinar si las funciones presentadas son simétricas o no respecto al eje $Y$ o al origen.

Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en febrero de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: Valentina Muñoz Porras

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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