Funciones racionales
Simetría con los ejes y el origen de las funciones racionales

Objetivo

Determinar si una función f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} es simétrica respecto al eje XX, respecto al eje YY o respecto al origen. P(x)P(x) y Q(x)Q(x) deben ser lineales o cuadráticas.

Introducción

Simetría axial. Una figura plana tiene simetría respecto a un eje, si al reflejarse en ese eje se obtiene la misma figura.

Simetría central. Una figura plana tiene simetría respecto a un punto OO si, para cada punto PP en la figura, existe otro punto PP' a la misma distancia de OO y alineado con OO y PP, donde PP' también está en la figura.

En el siguiente recuadro se observa un ejemplo de simetría axial, izquierda, y uno de simetría central, derecha. Desplaza el punto rojo para mover el punto PP.

Definición

Una función es simétrica respecto al eje YY, también llamada función par, si su gráfica es simétrica con respecto a dicho eje. Es decir, si para cada valor de xx se tiene que f(x)=f(x)f(x)=f(-x).

Una función es simétrica respecto al origen (0,0)(0,0), si para cada valor xx se tiene que f(x)=f(x)f(-x)=-f(x).

Notemos que una función, no idénticamente cero, jamás podrá ser simétrica respecto al eje XX pues, por definición, a un mismo valor de xx no le pueden corresponder dos valores en el eje YY. La función idénticamente cero es la única simétrica con respecto al eje XX, pues el simétrico del punto (x,0)(x,0) sería el mismo punto.

Procedimiento

Para determinar si f(x)f(x) es o no simétrica respecto al eje YY se sigue el siguiente procedimiento:

  1. Sustituir xx por x-x en f(x)f(x), lo cual resulta en la expresión algebraica: f(x)f(-x).
  2. Si f(x)=f(x)f(x)=f(-x) para toda xx, entonces ff es simétrica respecto al eje YY.
  3. Si no sucede así, entonces no es simétrica respecto al eje YY.

Para ver si una función es simétrica con respecto al origen se sigue el siguiente procedimiento:

  1. Sustituir xx por x-x en f(x)f(x), lo cual resulta en la expresión algebraica: f(x)f(-x).
  2. Si f(x)=f(x)f(x)=-f(-x) para toda xx, entonces ff es simétrica respecto al origen.
  3. Si no sucede así, entonces no es simétrica respecto al origen.

Utiliza el siguiente cuadro interactivo para repasar el procedimiento:

Ejercicios

Utiliza los procedimientos descritos anteriormente para determinar si las funciones presentadas son simétricas o no respecto al eje YY o al origen.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en febrero de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: Valentina Muñoz Porras

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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