Objetivo
Determinar el rango de una función del tipo $f(x)=\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ con $P(x)$ y $Q(x)$ lineales o cuadráticas.
Procedimiento
En general, para encontrar el rango de una función $f(x)$ debemos buscar los valores $y$ para los cuales existe $x$ tal que $y=f(x)$.
En el caso que nos interesa, cuando $f(x)$ es el cociente de dos polinomios, el problema se traduce en encontrar las $y$'s para las cuales existe $x$ tal que $y=\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$. Si además suponemos que este cociente está reducido, que $P(x)$ y $Q(x)$ no comparten factores comunes, entonces el problema será equivalente a encontrar los valores de $y$ para los cuales la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ tiene solución.
Solución
Como ya vimos, para encontrar el rango de $f(x)=\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$, cuando $P(x)$ y $Q(x)$ no comparten factores comunes, hay que determinar los valores de $y$ que hacen que la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ tenga solución. Como $P(x)$ y $Q(x)$ son lineales o cuadráticos, la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ deberá ser lineal o cuadrática en $x$, lo que vuelve nuestro problema soluble. Pues, debido a las siguientes dos afirmaciones, podemos encontrar las condiciones que debe satisfacer el valor de $y$ para que la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ tenga solución.
- Ecuaciones lineales. Una ecuación lineal de la forma $Bx+C=0$ con $B$ distinto de cero siempre tiene solución.
- Ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática de la forma $Ax^{2}+Bx+C=0$ con $A$ distinto de cero, tiene solución, si y sólo si $B^{2}-4AC≥0$.
Cabe destacar que las condiciones $B≠0$, en la primera afirmación; y $A≠0$, en la segunda, son necesarias, pues de lo contrario la ecuación no sería lineal en el primer caso, o cuadrática en el segundo.
En el siguiente cuadro interactivo, cambia los valores de $A$, $B$ y $C$ de la ecuación $Ax^{2}+Bx+C=0$ y observa que la ecuación tiene solución cuando el discriminante es mayor o igual que cero.
Ejemplos
A continuación se muestran cuatro ejemplos donde se calcula el rango de $f$. Puedes pasar al siguiente ejemplo haciendo clic en el botón Siguiente.
Ejercicios
En el siguiente cuadro interactivo aparecen ejercicios para que practiques el cálculo de la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$.
Calcula la ecuación $yQ(x)-P(x)=0$ dónde $P$ y $Q$ son el numerador y denominador de la función dada respectivamente. Elige la respuesta correcta.
En el siguiente cuadro interactivo aparecen ecuaciones de la forma $Ax^{2}+Bx+C=0$ con $A$, $B$ y $C$, funciones que dependen de $y$. Usa la técnica que aquí se explicó para encontrar qué valores de $y$ hacen que la ecuación tenga soluciones reales.
Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en febrero de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.
Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autora: Valentina Muñoz Porras
Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Joel Espinosa Longi
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.
Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.