Objetivo

Determinar el rango de una función del tipo $f(x)= \displaystyle \frac{a}{(x+b)^{2}} +c$, con $a$, $b$ y $c$ reales.

Solución

El rango de una función del tipo $f(x)= \displaystyle \frac{a}{(x+b)^{2}} +c$, con $a$, $b$ y $c$ reales es:

$\{y∈R|y>c\}$ si, $a>0$ o bien,

$\{y∈R|y < c\}$ si, $a < 0$.

En la siguiente animación, se marca en rojo el rango de una función del tipo $f(x)= \displaystyle \frac{a}{(x+b)^{2}} +c$. Observa cómo el rango está por encima de $c$ cuando $a$ es positivo y, cuando es negativo, está por debajo.

Explicación

Para entender por qué el rango de la función $f(x)=\displaystyle \frac{a}{(x+b)^{2}}+c$ es de la manera antes descrita, dividámosla como composición de funciones: $f(x)=k(h(g(x)))$ donde $g(x)=(x+b)^{2}$, $h(x)=\displaystyle \frac{a}{x}$ y $k(x)=x+c$. En efecto, $f$ es igual a la composición de $k$, $h$ y $g$ como se muestra en los siguientes cálculos:

$$k(h(g(x)))=k(h((x+b)^{2}))=k\Big(\displaystyle \frac{a}{(x+b)^{2}}\Big)=\displaystyle \frac{a}{(x+b)^{2}}+c=f(x)$$

Analicemos primero el rango de $g(x)=(x+b)^{2}$.

Como se trata del cuadrado de un número, $g$ no puede tomar valores negativos y además, como $x+b$ puede ser cualquier número, $g(x)$ puede ser cualquier número no negativo. Esto es, el rango de $g$ son todos los números no negativos:

$$\{y ∈R | y ≥ 0\}$$

Cambia el valor de $b$ en el cuadro interactivo que se muestra a continuación y observa que el rango de $g(x)=(x+b)^{2}$ es el conjunto de los números reales no negativos, es decir, los positivos y el cero.

Analicemos ahora el rango de $h(x)=\displaystyle \frac{a}{x}$. Es claro que la función $h$ toma todos los valores excepto el cero. Es decir, el rango de $h$ es $\{y ∈ R | y ≠ 0\}$. ¿Pero qué pasa con $h(g(x))=\displaystyle \frac{a}{(x+b)^{2}}$? El rango de esta composición resulta ser el rango de $h(x)$ restringiendo $x$ al rango de $g$. En otras palabras, es el rango de $h$ cuando se restringe su dominio a los reales positivos.

En el recuadro de abajo explora y observa qué pasa con el rango de $h$ al restringir su dominio a los reales positivos. No es muy difícil convencerse que el rango de $h(g(x))$ es el conjunto de los reales positivos, si $a>0$ y es el de los negativos, si $a < 0$.

Por último, el rango de la función $k(x) = x+c$ es el conjunto de los números reales. Pero al componerla con $h(g(x))$ su rango será el rango de la función $k$ restringiendo su dominio al rango de $h(g(x))$. Es por esto que el rango de $f(x)=k(h(g(x)))=\displaystyle \frac{a}{(x+b)^{2}}+c$ es:

$\{y∈R|y>c\}$ si $a>0$ o bien,

$\{y∈R|y < c\}$ si $a < 0$.

Esto se puede reformular de la siguiente manera: cuando $a$ es positivo, la función $f(x)$ es el resultado de sumar un número positivo a $c$, por lo que su rango es el conjunto de los números reales mayores que $c$. Del mismo modo, cuando $a$ es negativo $f(x)$ es el resultado de sumar un número negativo a $c$ y por ende su rango es el conjunto de los números reales menores que $c$.

Ejemplo

En el siguiente cuadro interactivo cambia los valores de $a$, $b$ y $c$ y observa que el rango de $f$ es $\{y∈R|y>c\}$ o $\{y∈R|y < c\}$, dependiendo si a es positivo o negativo.

Ejercicios