Objetivo

Determinar el rango de una función del tipo $f(x)=\displaystyle \frac{a}{x+b}+c$, con $a$, $b$ y $c$ reales.

Nota del revisor

El rango de una función $y=f(x)$ es el conjunto de valores que puede tomar $y$.

Procedimiento

El rango de una función del tipo $f(x)=\displaystyle \frac{a}{x+b}+c$, con $a$, $b$ y $c$ reales, es todo $R$ excepto el número $c$.

$$\{y ∊ R | y ≠ c\}$$

Observa la siguiente animación donde se dibuja en rojo el rango de una función del tipo $f(x)=\displaystyle \frac{a}{x+b}+c$. Los valores de $f(x)$ se acercan mucho a $c$, punto hueco, pero nunca llegan a él.

Solución

Para determinar si un valor $y$ está en el rango de una función $f$ hay que preguntarnos si existe $x$ tal que $y=f(x)$.

Por ejemplo, para $f(x)=\displaystyle \frac{2}{x-1}+3$ y $y=1$, buscamos $x$ tal que $1=\displaystyle \frac{2}{x-1}+3$. Despejando $x$ de esta ecuación se obtiene que:

$$-2 = \displaystyle \frac{2}{x-1} ⇒ x-1 = -1 ⇒ x=0$$

Por lo que, para $x=0$, $f(0)=\displaystyle \frac{2}{-1}+3=1$ es decir, $1$ está en el rango de $f$.

Para encontrar todo el rango de $f$ tenemos que hacerlo en general, es decir, despejar $x$ de la ecuación:

$$y=\displaystyle \frac{2}{x-1}+3$$

Lo cual nos da $x=\displaystyle \frac{2}{y-3}+1$, que está definida para $y≠3$. Por ello el rango de $f$ es $\{y∈R | y≠3\}$.

En términos generales, el rango de una función de la forma $f(x)=\displaystyle \frac{a}{x+b}+c$ es el conjunto de todos los números reales menos $c$. Esto se debe a que al despejar $x$ de la ecuación $y=\displaystyle \frac{a}{x+b}+c$ se obtiene que $x=\displaystyle \frac{a}{y-c}-b$ pero no está definido para $y=c$.

En ocasiones la función puede ser de la forma $f(x)=\displaystyle \frac{a}{x+b}+c$ pero de manera disfrazada como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Encontrar el rango de la función:

$$f(x)=\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}$$

Esta función puede escribirse como: $f(x)=\displaystyle \frac{2x+1}{x+1}=\frac{-1}{x+1}+2$. Por lo que el rango de esta función son todos los reales excepto el $2$.

Ejercicios

Encuentra el rango de la función dada: