Objetivo

Factorizar una función del tipo:

$$ƒ(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$$

con $a$, $b$, $c$ y $d$ enteros.

Procedimiento

Se divide el polinomio entre los binomios $x-e$, que se forman al sustituir e con los diferentes divisores del término independiente, hasta que el residuo de alguna división sea cero. Cuando esto ocurre, el divisor y el cociente forman la primera factorización de la función. Se repite el procedimiento de divisiones sucesivas hasta encontrar el primer residuo cero, pero ahora es el polinomio de tercer grado de la factorización anterior entre los binomios $x-f$, formados al sustituir $f$ con los divisores del término independiente del polinomio de tercer grado. Los ceros faltantes se obtienen factorizando el trinomio cuadrático del cociente.

La siguiente escena nos recuerda como factorizábamos un polinomio de grado 3 y nos da idea para hacer, de forma similar, la factorización de un polinomio de grado 4

Solución

1. Se determinan todos los divisores del término independiente de la función polinómica de grado 4.
2. Con estos divisores se obtienen los binomios $x-e$, sustituyendo $e$ con cada divisor.
3. Empleando división sintética, se divide el polinomio entre cada uno de los binomios anteriores hasta que el residuo de una de ellas sea cero.
4. La primera factorización se forma con el polinomio de tercer grado del cociente y el binomio del divisor, de la división cuyo residuo fue cero.
5. Nuevamente, se determinan los divisores del término independiente del polinomio de tercer grado de la factorización anterior.
6. Con estos divisores se obtienen los binomios $x-f$, sustituyendo $f$ con cada divisor.
7. Empleando división sintética, se divide este polinomio entre cada uno de los binomios anteriores hasta que el residuo de una de ellas sea cero. Así, se obtiene la segunda factorización.
8. Finalmente, se factoriza el trinomio como el producto de dos binomios con término común.

La siguiente escena nos recuerda como realizábamos la división sintética de un polinomio de grado 3 y que nos sirve de ejemplo para hacer la divisón sintética con un polinomio de grado 4, siguiendo los mismos pasos.

Ejemplos

A continuación se muestra el procedimiento de factorización paso a paso de una función polinómica de grado 4. Presiona el botón Continuar.

Ejercicios

Factoriza las siguientes funciones de cuarto grado. Para obtener las dos primeras factorizaciones emplea división sintética y para la tercera factorización binomios con término común.