Objetivo

Determinar el número de ceros de una función polinomial.

Procedimiento

Una función polinomial es una función que se puede escribir de forma general como:

$$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$

donde $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $...$, $a_{n-1}$ y $a_{n}$ son números reales con $a_{n}≠0$. En la expresión anterior, $n$ es la potencia mayor y a este número se le conoce como el grado del polinomio. Por ejemplo, la función polinomial $f(x)=3x^{4}+5x^{2}-1$ es de grado $4$.

Nota del revisor:
Todo valor $x=r$ que verifique $f(r)=0$ es una raíz de la ecuación $f(x)=0$ y también un cero del polinomio $f(x)$.
Si $x=r$ es un cero de $f(x)$, esta función se puede factorizar y $x-r$ constituye un factor lineal de $f(x)$.

Si un polinomio es factorizable como producto de factores lineales, polinomios de grado $1$, entonces su grado nos dice el número de ceros que tiene, y este número debe coincidir con el número de factores lineales que tiene su factorización.

En la siguiente escena puedes observar distintos polinomios con grados entre $2$ y $4$ en su forma general y factorizada. Nota que el cero de cada factor lineal es un cero de la función.

Solución

Cuando un polinomio se puede expresar como un producto de factores lineales, el número de ceros del polinomio corresponde a su grado. Sin embargo, si dos o más factores representan rectas que intersecan al eje $X$ en el mismo punto, visualmente aparece una única raíz en ese punto que se debe contar doble, o triple, dependiendo de cuántas rectas se intersecaron en ese cero.

Da valores para el grado del polinomio y observa la gráfica así como el número de ceros que tiene. Si en algún momento no se aprecian en la gráfica los ceros correspondientes al grado de la función, significa que ahí aparece un cero múltiple o la función polinomial no es factorizable como producto de factores que sean únicamente lineales.

Cuando la función polinomial se puede expresar como un producto de factores lineales, siempre tiene el mismo número de ceros que el grado de la función. Si el máximo exponente es dos, entonces se tienen dos ceros; si el grado es tres, se tienen tres ceros y si el grado es cuatro, la función tendrá cuatro ceros. Entonces, si queremos saber el número de ceros que tiene la función, basta ver cuál de los exponentes es el mayor y ese será el número de ceros.

Ejercicios

Las siguientes funciones polinomiales son factorizables como producto de factores lineales. Calcula el número de ceros. Si has respondido correctamente, aparecerá la gráfica del polinomio. Recuerda que si no observas el número de raíces correctas, es porque puede haber raíces dobles o triples.