Objetivo

Determinar el dominio y rango de funciones polinomiales de grado $3$ y $4$.

Solución

Recordemos que el $dominio$ de una función $y=f(x)$ es el conjunto valores que puede tomar la variable $x$ y el $rango$ el conjunto de valores que puede tomar la variable $y$. La siguiente tabla muestra el dominio y el rango de las funciones polinomiales de grado $3$ y $4$.

donde $m$ y $M$ son el mínimo y el máximo de la función. A continuación se dará una breve explicación del por qué el dominio y el rango son los conjuntos mencionados en la tabla.

Polinomios de grado $3$

Es posible notar que, cuando el valor de $x$ se aproxima a $∞$ o $-∞$, el término $ax^{3}$ en valor absoluto, sin considerar el signo, es más grande que los otros términos del polinomio $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ por lo que, el término $ax^{3}$ predominará en los extremos de la gráfica de $f(x)$, esto es, el valor de $f(x)$ será casi tan grande como el valor de $ax^{3}$, lo que pueda llegar a restar $bx^{2}+cx+d$ no será suficiente como para frenar el crecimiento de $ax^{3}.$

Por otro lado, $ax^{3}$ crece a $∞$ en uno de sus extremos y a $-∞$ en otro, pues cuando $x$ es negativo $x^{3}$ sigue siendo negativo. Finalmente, este comportamiento se mantiene en $f(x)$, pues es un comportamiento al infinito. En el siguiente plano podrás apreciar gráficamente la explicación anterior.

Debido a la continuidad de los polinomios, no importa mucho el comportamiento de $f$ en el recuadro azul, pues la gráfica abarcará todos los puntos que faltan por cubrir. De aquí que el rango es el conjunto $R$ de los números reales.

Polinomios de grado $4$

El dominio de un polinomio de grado $4$ es el conjunto $R$ de los números reales.

Como se mencionó anteriormente, encontrar el rango de una función polinomial de grado $4$ se traduce a encontrar el mínimo o el máximo de la función $f$. Más adelante aprenderás a obtener el máximo y mínimo de una función, por lo pronto, nos enfocaremos en obtener una aproximación del máximo o del mínimo a partir de la gráfica de $f$. A continuación, se proporcionará una breve explicación de por qué el rango de una función polinomial de grado $4$, $f(x)=ax^{4} + bx^{3} +cx^{2}+dx+e$ es $[m,∞)$ cuando $a>0$, o bien, $(-∞,M]$ cuando $a < 0$, donde $m$ y $M$ son el mínimo y el máximo de $f$.

El valor del término $ax^{4}$ en el polinomio $f(x)=ax^{4} + bx^{3} +cx^{2}+dx+e$ será mucho más grande que el resto de los términos cuando $x$ toma valores muy grandes. Esto significa que, cuando el valor de $x$ aumente al infinito el valor de la función será muy parecido al de $ax^{4}$. Si $a < 0$, el término $ax^{4}$ tiende a $-∞$ en ambos extremos de la gráfica, al igual que la función. Por otro lado, si $a>0$, el término $ax^{4}$ tiende a $∞$ en ambos extremos de la gráfica, al igual que la función. La siguiente figura muestra cómo se comporta la gráfica de $f$ en los extremos, aunque falta saber qué pasa en medio:

Entonces, el problema de encontrar el rango de un polinomio de grado $4$, generalmente se traduce en encontrar el mínimo (si $a>0$) o máximo (si $a < 0$) de la función, como se puede ver en la siguiente animación:

La animación sugiere el siguiente método para encontrar el rango:

1. Identificar el coeficiente de $x^{4}$, literal $a$.
2. Si $a>0$, entonces se busca el mínimo de la función polinomial, el cual es la ordenada del punto más bajo en la gráfica; si $a < 0$, entonces se busca el máximo, el cual es la ordenada del punto más alto.
3. Trazar una línea horizontal por el máximo, o el mínimo, y ubicar la ordenada de la intersección de la horizontal con el eje $Y$.
4. Si $a < 0$ y $M$ es la ordenada encontrada en el paso 3, entonces el rango es $(-∞,M];$ si $a>0$ y $m$ es la ordenada encontrada en el paso 3, entonces el rango es $[m,∞)$.

Ejercicios

¿Cuál es el dominio y el rango de las siguientes funciones polinómicas?

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Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en enero de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

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Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: Valentina Muñoz Porras

Edición académica: Fernando René Martínez Ortíz y Octavio Fonseca Ramos

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

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Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

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Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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