Objetivo

Determinar dominio y rango de funciones cuadráticas.

Procedimiento

Al hablar de funciones cuadráticas nos referimos a las funciones que, de forma más general, tienen la ecuación $f(x)=ax^{2}+bx+c$, siendo $a$, $b$ y $c$ números, con $a≠0$, por ejemplo: $f(x)=3x^{2}+5x+1$.

El dominio de cualquier función cuadrática es siempre el conjunto de los números reales, ya que tanto sumas como productos de números producen números reales y una función cuadrática sólo depende de estas dos operaciones.

En siguiente gráfica se muestra una función cuadrática a la que le puedes modificar los valores de $a$, $b$ y $c$.

Solución

El dominio de cualquier función cuadrática es el conjunto de todos los reales o, equivalentemente, el intervalo $(-∞,∞)$. Lo único variable en este tipo de funciones es su rango, el conjunto de todos los valores que toma cuando la variable recorre todo el dominio. Comencemos el análisis usando la forma más sencilla, $f(x)=ax^{2}+c$. En este caso se tienen dos opciones:

$a>0$
$a < 0$

Utilizando la gráfica, observa los rangos correspondientes a los dos casos.

Para determinar el rango de funciones cuadráticas más generales, de la forma $f(x)=ax^{2}+bx+c$, se puede considerar la ecuación cuadrática $y=ax^{2}+bx+c$, la cual representa una parábola y encontrar su vértice $V(h,k)$. Así, si $a>0$, el rango de la función cuadrática será el intervalo $[k,∞)$. Si $a < 0$, el intervalo $(-∞,k)$.

Observar que si el vértice de la parábola $f(x)=ax^{2}+bx+c$ es $V(h,k)$ la ecuación de la parábola se podrá expresar como $y-k=a(x-h)^2$. Para encontrar el valor de $k$ se siguen los siguientes pasos:

A partir de la ecuación cuadrática $y=ax^{2}+bx+c$, se pasa el término constante, $c$, hacia el lado izquierdo de la ecuación y se factoriza el coeficiente de $x^{2}$, $a$, en el lado derecho:
Se completa el trinomio cuadrado perfecto:
Se escribe el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio: $$y-\Big(c-\frac{b^{2}}{4a}\Big)=a\Big(x-\Big(-\frac{b}{2a}\Big)\Big)^{2}$$
Esta última fórmula puede ser escrita como: $$y-\Big(\frac{4ac-b^{2}}{4a}\Big)=a\Big(x-\Big(-\frac{b}{2a}\Big)\Big)^{2}$$
Las coordenadas del vértice son: $V(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})$ y, lo que es mas importante, $k=\frac{4ac-b^{2}}{4a}$. Puedes utilizar esta fórmula para encontrar el rango de las funciones cuadráticas en los siguientes ejercicios.

Ejercicios

Encuentra el dominio y el rango de la siguiente función:

Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en enero de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Alberto Bravo García y Fernando René Martínez Ortiz

Edición académica: Fernando René Martínez Ortiz y Octavio Fonseca Ramos

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Joel Espinosa Longi

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.

Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.