Elementos de la elipse a partir de su ecuación
Elementos de la elipse a partir de su ecuación general

Objetivo

Obtener cualquiera de los elementos (centro, vértices, focos, extremos del eje menor, longitudes y ecuaciones de los ejes mayor y menor, distancia focal, lado recto o excentricidad) de una elipse a partir de su ecuación general.

Procedimiento

Se transforma la ecuación general de la elipse a su forma ordinaria. A partir de ésta última conocemos la orientación, centro, $a$ y $b$. Aplicando el teorema de Pitágoras: $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, calculamos $c$. Con estos cinco datos: orientación, centro, $a$, $b$, y $c$, podemos obtener cualquiera de los demás elementos de la elipse aplicando la fórmula correspondiente.

Solución

  1. Se transforma la ecuación general en ordinaria.
  2. Con esta última determinamos la orientación de la elipse:

    $Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$          ecuación general de la elipse.

    $\displaystyle \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$          elipse horizontal

    $\displaystyle \frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1$          elipse vertical

  3. La coordenada del centro es $C(h,k)$.
  4. En la elipse se cumple que $a^{2}>b^{2}$, por lo que el denominador mayor es igual con $a^{2}$ y el menor con $b^{2}$. Con estos valores calculamos $a$ y $b$.
  5. Aplicando el teorema de Pitágoras $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, calculamos $c$.
  6. Con estos cinco datos podemos obtener cualquiera de los demás elementos de la elipse aplicando la fórmula correspondiente. Para una descripción más detallada, ver el ejemplo.

Ejemplo

En cada caso, primero se transforma la ecuación a ordinaria. Luego, se determinan los datos: orientación, centro, $a$, $b$ y $c$. Posteriormente, se elige el elemento que será calculado.

Ejercicios

Obtener los elementos que se pidan, a partir de la ecuación general de la elipse mostrada.

Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en enero de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Octavio Fonseca Ramos

Edición académica: Fernando René Martínez Ortiz y Octavio Fonseca Ramos

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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