La elipse a partir de algunos de sus elementos
Ecuación general de la elipse conocidos sus dos focos o sus dos vértices y algún otro dato

Objetivo

Obtener la ecuación general de la elipse conocidos sus dos focos o sus dos vértices y algún otro dato.

Procedimiento

Con los datos, obtenemos la posición y orientación de la elipse. Se obtienen los valores de las literales $a$, $b$ y $c$ de la siguiente manera: Si conocemos los vértices, obtenemos $a$, si son los focos, obtenemos $c$. Con el otro dato obtenemos el valor de la segunda literal, y si es necesario, determinamos el valor de la tercera literal por medio del teorema de Pitágoras. Después de obtener la ecuación ordinaria, se transforma en general.

Solución

  1. Ubicamos ambos focos o vértices en el plano para determinar la posición y orientación de la elipse. Criterios:
    • Si ambos están sobre la misma línea horizontal, ésa es la orientación de la elipse.
    • Si ambos están sobre la misma línea vertical, ésa es la orientación de la elipse.
  2. En cualquier caso, el centro es el punto medio de los dos puntos.
  3. La mitad de la distancia entre ellos corresponde, para los vértices a la literal $a$, y para los focos a la literal $c$.
  4. Con el otro dato obtenemos el valor de la segunda literal:
    • Si es un extremo del eje menor, obtenemos directamente $b$.
    • Si es el eje menor, también obtenemos $b$ calculando la mitad de su distancia.
    • Si es excentricidad, $e$, empleamos la siguiente fórmula para obtener la segunda literal.
      • $$e=\frac{c}{a}$$
  5. En su caso, empleamos el teorema de Pitágoras para calcular la tercera literal.
  6. Se sustituyen las literales en la ecuación ordinaria correspondiente.
  7. Esta última ecuación obtenida, se transforma algebraicamente en ecuación general.

Ejemplo

A continuación se describe el procedimiento para obtener la ecuación general de una elipse a partir de diferentes datos. Con el primer menú selecciona como dato los vértices o los focos, y con el segundo menú selecciona como dato un extremo del eje menor, la longitud del eje menor o la excentricidad. Presiona Continuar.

Ejercicio

Obtener la ecuación general de una elipse con centro en $(h,k)$, a partir de los datos dados.

Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en enero de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Octavio Fonseca Ramos

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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