Objetivo

Identificar a la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

Procedimiento

Se determina la distancia de cada uno de los dos focos a uno de los puntos que forman la elipse, su suma es un número que permanece constante si repetimos este proceso de suma de las distancias a lo largo de todos los puntos del lugar geométrico.

Solución

Para encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a $F(x_{1},y_{1})$ y $F'(x_{2},y_{2})$ sea una constante $d$, se procede de la siguiente manera:

1. Se nombra como $P(x,y)$ a uno de los puntos del lugar geométrico, es decir, uno de los puntos que cumple la condición mencionada arriba.
2. Se suman la distancia de $P$ a $F$ con la de $P$ a $F'$ y se igualan a $d$.
$$d(P,F)+d(P,F')=d$$
3. Al sustituir en la fórmula de distancia, se obtiene la siguiente ecuación:
$$\sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}+\sqrt{(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}=d$$
4. En la expresión anterior, la primera raíz corresponde a la distancia del punto $P$ a $F$, la segunda raíz es la distancia del punto $P$ a $F'$, las cuales están sumadas e igualadas a la constante.

Para obtener la ecuación del lugar geométrico, se lleva a cabo una simplificación algebraica, que se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo se mostrará todo el desarrollo matemático necesario para determinar la ecuación de una elipse centrada en el origen y los focos $F$ y $F'$ sobre el eje de abcisas. Arrastra el punto $F$ hasta las coordenadas deseadas y posteriormente presiona el botón Continuar.

Ejercicios

1. En una elipse, la suma de las distancias de los focos a cualquier punto de la curva permanece constante. En cada ejercicio, se dan los valores de la suma constante y de uno de los segmentos rectos, escribe la medida del otro.

2. Determina la ecuación de la elipse que cumple con las condiciones dadas, selecciona la respuesta correcta.