Objetivo

Obtener la ecuación general de una parábola conociendo dos elementos distintos al vértice.

Recordatorio

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{1} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en un punto $(h,k)$ es de la forma:

$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda

$$\tag{2}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

Al desarrollar las ecuaciones del tipo (2) se obtiene una ecuación de la forma:

$$\tag{3} y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

del tipo (1) con $A=0$, $B=0$ y $C=1$.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en un punto $(h,k)$ es de la forma:

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo

$$\tag{4}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

Al desarrollar las ecuaciones del tipo (4) se obtiene una ecuación de la forma:

$$\tag{5} x^{2}+Dx+Ey+F=0$$

del tipo (1) con $A=1$, $B=0$ y $C=0$.

Procedimiento

Si se conocen algunos elementos de la parábola, se debe encontrar el vértice y el valor del parámetro $p$, a partir de ellos, para encontrar su ecuación ordinaria, (2) o (4) y luego su ecuación general (3) o (5).

También, dado que en las ecuaciones (3) y (5) hay que encontrar tres coeficientes, si se conocen tres puntos de una parábola y se sabe si es horizontal o vertical, es posible encontrar su ecuación general sustituyendo las coordenadas de cada uno de estos tres puntos, con lo que se obtiene un sistema de tres ecuaciones simultaneas con tres incógnitas que es del tipo (1) con $A=0$ y $B=0$ si es horizontal o con $B=0$ y $C=0$ si es vertical.

Solución

Con los pulsadores que se encuentran en el recuadro interactivo que sigue, cambia el valor de las coordenadas del punto conocido y observa cómo se modifica la ecuación ordinaria y general de la parábola cuando $x$ e $y$, asumen valores tanto negativos como positivos.

Parábola conociendo el foco y la directriz

Parábola horizontal por tres puntos: $y^{2}+Dx+Ey+F=0$

Ejercicios

Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro. Recuerda que al hacer clic sobre un campo de texto se despliega la calculadora que te permite escribir el resultado y finalmente presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará un botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.