Objetivo

Obtener la ecuación general una parábola con vértice en un punto $(h, k)$, conociendo su concavidad y la longitud del lado recto.

Recordatorio

La concavidad de una parábola indica hacia qué lado abre. Las parábolas no inclinadas pueden abrir hacia: la derecha, la izquierda, arriba o abajo.

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en un punto (h, k) es de la forma:

$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda

$$\tag{1}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en un punto $(h, k)$ es de la forma:

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo

$$\tag{2}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Para pasar de la ecuación ordinaria (1) o (2) a la ecuación (3), hay que desarrollar el binomio al cuadrado que está del lado izquierdo, hacer la multiplicación que está del lado derecho, pasar todos los términos al lado izquierdo y simplificar.

El lado recto es el segmento perpendicular al eje de la parábola que pasa por el foco y cuyos extremos tocan la parábola. El lado recto mide $4$ veces la distancia del vértice al foco, es decir, $4p$, que es el coeficiente, sin tomar en cuenta el signo del término de la derecha en las ecuaciones (1) y (2).

Procedimiento

Para determinar la forma general de una parábola con vértice en $(h, k)$, concavidad y lado recto conocidos, primero hay que encontrar la forma ordinaria mediante los siguientes pasos:

1. Se determina $p$, la distancia del vértice al foco, que es la cuarta parte de la longitud del lado recto.
2. Se utiliza la ecuación (1) si la parábola abre hacia la derecha o hacia la izquierda.
3. Se utiliza la ecuación (2) si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
4. Se elige el signo del término del segundo miembro de la ecuación de acuerdo con la siguiente tabla:

Una vez obtenida la ecuación ordinaria, se siguen los siguientes pasos para obtener la ecuación general:

5. Desarrollar el binomio al cuadrado que está del lado izquierdo.
6. Hacer la multiplicación que está del lado derecho.
7. Pasar todos los términos al lado izquierdo.
8. Simplificar.

Solución

Con los pulsadores que se encuentran en el recuadro interactivo que se presenta a continuación, cambia el valor de las coordenadas del vértice $(h, k)$, la longitud del lado recto y el sentido de la concavidad de la parábola y observa cómo se modifica tanto la gráfica, como las ecuaciones de ésta. Analiza cada caso y compara dichos resultados con los del cuadro anterior. Recuerda que puedes acercar o alejar la imagen, haciendo uso del pulsador situado en el extremo inferior derecho de la gráfica.

Ejemplos

En el recuadro que sigue, observa cómo se determina la ecuación de la parábola con vértice en (h, k) conociendo su concavidad y la longitud del lado recto. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se localiza en el extremo inferior derecho del cuadro.

Ejercicios

Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro. Recuerda que al hacer clic sobre un campo de texto se despliega la calculadora que te permite escribir el resultado y finalmente presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará un botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.