Objetivo
Obtener la ecuación ordinaria de una parábola con vértice en un punto $(h, k)$, conociendo su concavidad y la longitud del lado recto.
Recordatorio
La concavidad de una parábola indica hacia qué lado abre ésta. Las parábolas no inclinadas pueden abrir hacia: la derecha, izquierda, arriba o abajo.
La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en un punto (h,k) es de la forma:
$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda
$$\tag{1}$$en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.
La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en un punto $(h,k)$ es de la forma:
$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo
$$\tag{2}$$en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.
El lado recto es el segmento perpendicular al eje de la parábola, que pasa por el foco y cuyos extremos tocan la parábola. El lado recto mide $4$ veces la distancia del vértice al foco, es decir, $4p$, que es el coeficiente, sin tomar en cuenta el signo del término de la derecha en las ecuaciones (1) y (2).
Procedimiento
Para determinar la forma ordinaria de la parábola con vértice en $(h,k)$, conociendo su concavidad y lado recto se realiza el siguiente procedimiento:
- Se determina $p$, la distancia del vértice al foco, que es la cuarta parte de la longitud del lado recto.
- Se utiliza la ecuación (1) si la parábola abre hacia la derecha o hacia la izquierda.
- Se utiliza la ecuación (2) si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
- Se elige el signo del término del segundo miembro de la ecuación de acuerdo con la siguiente tabla:
Solución
Arrastrando el control gráfico $V$ y utilizando los pulsadores que se encuentran en el recuadro interactivo que se presenta abajo, el cambia el valor de las coordenadas del vértice $(h,k)$, la longitud del lado recto y el sentido de la concavidad de la parábola, y observa cómo se modifica tanto la gráfica, como la ecuación ordinaria de ésta. Analiza cada caso y compara dichos resultados con los del cuadro anterior. Recuerda que puedes acercar o alejar la imagen haciendo uso del pulsador situado en el extremo inferior derecho de la gráfica.
Ejemplos
En el recuadro que sigue, observa cómo se determina la ecuación de la parábola con vértice en $(h,k)$ conociendo su concavidad y la longitud del lado recto. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se localiza en el extremo inferior derecho del cuadro.
Ejercicios
Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro. Recuerda que al hacer clic sobre un campo de texto se despliega la calculadora que te permite escribir el resultado y finalmente presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará un botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.
Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en julio de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.
Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autores: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas
Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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